判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？(1) 1-(1)/(sqrt(2))+(1)/(sqrt(3))-(1)/(sqrt(4))+...+((-1)^n-1)/(sqrt(n))+...；(2) sum_(n=1)^infty(-1)^n-1(n)/(3^n-1)；(3) (1)/(3)times(1)/(2)-(1)/(3)times(1)/(2^2)+(1)/(3)times(1)/(2^3)-(1)/(3)times(1)/(2^4)+...+(-1)^n-1(1)/(3)times(1)/(2^n)+...；(4) (1)/(ln 2)-(1)/(ln 3)+(1)/(ln 4)-(1)/(ln 5)+...+(-1)^n-1(1)/(ln(n+1))+...；(5) sum_(n=1)^infty(-1)^n+1(2^n^2)/(n!).
判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdots$； (2) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{n-1}}$； (3) $\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^n}+\cdots$； (4) $\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 5}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{\ln(n+1)}+\cdots$； (5) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}$.
题目解答
答案
我们来逐个分析这些级数的收敛性（是否收敛，以及是绝对收敛还是条件收敛）。
(1)
$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdots$
这是一个交错级数，形式为：
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}$
判断是否收敛：
根据莱布尼茨判别法（交错级数判别法）：
- 通项 $ a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} $ 是单调递减的；
- 且 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $
因此，该级数收敛。
判断是否绝对收敛：
考虑绝对值级数：
$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
这是一个p-级数，其中 $ p = \frac{1}{2} < 1 $，因此发散。
所以该级数是条件收敛。
(2)
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{n-1}}$
判断是否收敛：
这是一个交错级数，我们先判断其绝对值是否收敛。
考虑：
$\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n-1}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}}$
我们使用比值判别法：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)/3^n}{n/3^{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)}{n} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} < 1$
所以绝对值级数收敛，因此原级数绝对收敛。
(3)
$\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^n}+\cdots$
提取公因子 $ \frac{1}{3} $，得到：
$\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{2^n}$
这是一个等比级数，公比为 $ r = -\frac{1}{2} $，且 $ |r| < 1 $，所以该级数绝对收敛。
(4)
$\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 5}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{\ln(n+1)}+\cdots$
这是一个交错级数：
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\ln(n+1)}$
判断是否收敛：
- 通项 $ a_n = \frac{1}{\ln(n+1)} $ 是单调递减的；
- 且 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $
因此，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
判断是否绝对收敛：
考虑绝对值级数：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}$
我们使用积分判别法，考虑函数 $ f(x) = \frac{1}{\ln(x+1)} $，它是正的、单调递减的。
计算积分：
$\int_1^{\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} dx$
这个积分是发散的（因为 $ \ln(x+1) $ 增长得太慢），所以绝对值级数发散。
因此，该级数是条件收敛。
(5)
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}$
判断是否收敛：
我们使用比值判别法：
$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{2^{(n+1)^2}/(n+1)!}{2^{n^2}/n!} \right| = \frac{2^{(n+1)^2 - n^2}}{n+1} = \frac{2^{2n+1}}{n+1}$
当 $ n \to \infty $ 时，$ 2^{2n+1} $ 增长得非常快，远大于 $ n+1 $，所以：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty > 1$
因此，该级数发散。
最终答案总结：
| 题号 | 是否收敛 | 收敛类型 |
|---|---|---|
| (1) | 收敛 | 条件收敛 |
| (2) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (3) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (4) | 收敛 | 条件收敛 |
| (5) | 发散 | 不收敛 |
✅ 答案：
- (1) 收敛，条件收敛；
- (2) 收敛，绝对收敛；
- (3) 收敛，绝对收敛；
- (4) 收敛，条件收敛；
- (5) 发散。
用公式框表示：
$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) 条件收敛} \\&\text{(2) 绝对收敛} \\&\text{(3) 绝对收敛} \\&\text{(4) 条件收敛} \\&\text{(5) 发散}\end{aligned} }$
解析
本题主要考查级数收敛性的判定，包括绝对收敛和条件收敛的判断。对于不同形式的级数，我们会采用不同的判别方法，如莱布尼茨判别法、比值判别法、积分判别法以及根据等比级数和$p -$级数的性质来进行判断。
(1) $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n - 1}}{\sqrt{n}}+\cdots$
- 判断是否收敛：
- 此级数为交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{\sqrt{n}}$，设$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$。
- 对于单调性，对$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$求导，$a_{n}^{\prime}=-\frac{1}{2}n^{-\frac{3}{2}}<0$，所以$a_{n}$单调递减。
- 计算极限$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0$。
- 根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
- 判断是否绝对收敛：
- 考虑绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n - 1}}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$，这是一个$p -$级数，其中$p=\frac{1}{2}<1$。
- 根据$p -$级数的性质，当$p<1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$发散，所以该级数是条件收敛。
(2) $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{n}{3^{n - 1}}$
- 判断是否收敛：
- 先判断其绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|(-1)^{n - 1}\frac{n}{3^{n - 1}}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n}{3^{n - 1}}$的收敛性。
- 使用比值判别法，设$a_{n}=\frac{n}{3^{n - 1}}$，则$a_{n + 1}=\frac{n + 1}{3^{n}}$。
- 计算$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{n + 1}{3^{n}}}{\frac{n}{3^{n - 1}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}\cdot\frac{1}{3}$。
- 因为$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n}) = 1$，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{3}<1$。
- 根据比值判别法，绝对值级数收敛，所以原级数绝对收敛。
(3) $\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^{3}}-\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{1}{3}\times\frac{1}{2^{n}}+\cdots$
- 提取公因子$\frac{1}{3}$，得到$\frac{1}{3}\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{2^{n}}$。
- 这是一个等比级数，公比$r=-\frac{1}{2}$，且$\vert r\vert=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$。
- 根据等比级数的性质，当$\vert r\vert<1$时，等比级数$\sum_{n = 1}^{\infty}ar^{n - 1}$绝对收敛，所以该级数绝对收敛。
(4) $\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 5}+\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{1}{\ln(n + 1)}+\cdots$
- 判断是否收敛：
- 此级数为交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1}{\ln(n + 1)}$，设$a_{n}=\frac{1}{\ln(n + 1)}$。
- 因为$y = \ln(x + 1)$单调递增，所以$y=\frac{1}{\ln(x + 1)}$单调递减，即$a_{n}$单调递减。
- 计算极限$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln(n + 1)} = 0$。
- 根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
- 判断是否绝对收敛：
- 考虑绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n + 1)}$，使用积分判别法。
- 设$f(x)=\frac{1}{\ln(x + 1)}$，$f(x)$在$[1,+\infty)$上正且单调递减。
- 计算积分$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\ln(x + 1)}dx$，由于$\ln(x + 1)$增长缓慢，$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\ln(x + 1)}dx$发散。
- 所以绝对值级数发散，该级数是条件收敛。
(5) $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n + 1}\frac{2^{n^{2}}}{n!}$
- 使用比值判别法，设$a_{n}=\frac{2^{n^{2}}}{n!}$，则$a_{n + 1}=\frac{2^{(n + 1)^{2}}}{(n + 1)!}$。
- 计算$\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{\frac{2^{(n + 1)^{2}}}{(n + 1)!}}{\frac{2^{n^{2}}}{n!}}=\frac{2^{(n + 1)^{2}-n^{2}}}{n + 1}=\frac{2^{2n + 1}}{n + 1}$。
- 当$n\rightarrow\infty$时，指数函数$2^{2n+1}$的增长速度远快于一次函数$n + 1$，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\infty>1$。
- 根据比值判别法，该级数发散。