20.（2.0分）设A为n阶方阵，k为常数，则|kA|=（）A. k|A|B. k^n|A|C. nk|A|D. |A|^k

本题考查方阵行列式的性质，解题思路是根据方阵行列式的定义以及数乘矩阵的运算法则来推导$\vert kA\vert$的结果。

设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，根据数乘矩阵的定义，$kA=(ka_{ij})_{n\times n}$，即$kA$的$(i,j)$ - 元素为$ka_{ij}$，其中$i = 1,2,\cdots,n$，$j = 1,2,\cdots,n$。

根据$n$阶方阵行列式的定义：
$\vert kA\vert=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)} (ka_{1,\sigma(1)})(ka_{2,\sigma(2)})\cdots(ka_{n,\sigma(n)})$
其中$S_{n}$是$n$个元素的所有排列构成的集合，$\tau(\sigma)$是排列$\sigma$的逆序数。

上式中一共有$n$个$k$相乘，可将其提取出来，得到：
$\vert kA\vert=k\cdot k\cdots k\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)} a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}$
因为$k$相乘$n$次，所以$k\cdot k\cdots k = k^{n}$，而$\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)} a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}=\vert A\vert$。

因此，$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$。