题目
设 X sim N(a, sigma^2)，则 Y = (X-3)/(2) 服从的分布为（）A. Y sim N((a)/(2), (sigma^2)/(4))B. Y sim N((a-3)/(2), (sigma^2)/(4))C. Y sim N((a)/(2), ((sigma-3)^2)/(4))D. Y sim N((a-3)/(2), ((sigma-3)^2)/(4))
设 $X \sim N(a, \sigma^2)$，则 $Y = \frac{X-3}{2}$ 服从的分布为（）
A. $Y \sim N\left(\frac{a}{2}, \frac{\sigma^2}{4}\right)$
B. $Y \sim N\left(\frac{a-3}{2}, \frac{\sigma^2}{4}\right)$
C. $Y \sim N\left(\frac{a}{2}, \frac{(\sigma-3)^2}{4}\right)$
D. $Y \sim N\left(\frac{a-3}{2}, \frac{(\sigma-3)^2}{4}\right)$
题目解答
答案
B. $Y \sim N\left(\frac{a-3}{2}, \frac{\sigma^2}{4}\right)$
解析
步骤 1：理解正态分布的线性变换性质
正态分布的线性变换性质指出，如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则对于任意常数 $c$ 和 $d$，$Y = cX + d$ 服从正态分布 $N(c\mu + d, c^2\sigma^2)$。
步骤 2：应用线性变换性质
给定 $X \sim N(a, \sigma^2)$，我们有 $Y = \frac{X-3}{2}$。这里，$c = \frac{1}{2}$，$d = -\frac{3}{2}$。根据正态分布的线性变换性质，$Y$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_Y = c\mu_X + d = \frac{1}{2}a - \frac{3}{2} \]
\[ \sigma_Y^2 = c^2\sigma_X^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{4} \]
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
根据上述计算，$Y$ 服从正态分布 $N\left(\frac{a-3}{2}, \frac{\sigma^2}{4}\right)$。
正态分布的线性变换性质指出，如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则对于任意常数 $c$ 和 $d$，$Y = cX + d$ 服从正态分布 $N(c\mu + d, c^2\sigma^2)$。
步骤 2：应用线性变换性质
给定 $X \sim N(a, \sigma^2)$，我们有 $Y = \frac{X-3}{2}$。这里，$c = \frac{1}{2}$，$d = -\frac{3}{2}$。根据正态分布的线性变换性质，$Y$ 的均值和方差分别为：
\[ \mu_Y = c\mu_X + d = \frac{1}{2}a - \frac{3}{2} \]
\[ \sigma_Y^2 = c^2\sigma_X^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{4} \]
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
根据上述计算，$Y$ 服从正态分布 $N\left(\frac{a-3}{2}, \frac{\sigma^2}{4}\right)$。