X_1, X_2, ..., X_n (n > 1) 是从总体 X sim N(0,1) 中随机抽取样本，overline(X) 为样本均值，下列错误的是()A. (overline(X))/(sqrt(n)) sim N(0,1)B. (1)/(n) (sum_(i=1)^n X_i )^2 sim chi^2C. sum_(i=1)^n X_i^2 sim chi^2(n)D. overline(X) sim N(0,1)

本题考查正态分布、卡方分布的性质性质以及样本均值和样本方差的性质。解题思路是根据已知条件，结合正态分布和卡方分布的定义及性质，逐一分析每个选项。

选项A

已知总体$X \sim N(0,1)$，样本$X_1, X_2, \cdots, X_n (n > 1)$是从总体中随机抽取的样本，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
根据正态分布的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^2)$，则$\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
在本题中$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，所以$\overline{X} \sim N(0,\frac{1}{n})$。
对$\overline{X}$进行标准化：$\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}=\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}$，根据标准化的性质，若$Y \sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{Y - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
所以$\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}=\frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\sim N(0,1)$，即$\frac{\overline{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，选项A正确。

选项B

已知$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，则$\frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2=\overline{X}^2$。
因为$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且都服从$N(0,1)$，$\overline{X} \sim N(0,\frac{1}{n})$，根据卡方分布的定义：若$Z \sim N(0,1)$，则$Z^2 \sim \chi^2(1)$。
令$Z = \frac{\overline{X}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}$，则$Z^2=\frac{\overline{X}^2}{\frac{1}{n}} = n\overline{X}^2$，所以$\overline{X}^2=\frac{1}{n}Z^2$，$\frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2=\overline{X}^2$不服从$\chi^2$分布，选项B错误。

选项C

已知总体$X \sim N(0,1)$，样本$X_1, X_2, \cdots, X_n (n > 1)$是从总体中随机抽取的样本，且$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立。
根据卡方分布的定义：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且都服从$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$，所以选项C正确。

选项D

已知总体$X \sim N(0,1)$，样本$X_1, X_2, \cdots, X_n (n > 1)$是从总体中随机抽取的样本，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
根据正态分布的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^2)$，则$\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
在本题中$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，所以$\overline{X} \sim N(0,\frac{1}{n})$，而不是$\overline{X} \sim N(0,1)$，选项D错误。