题目

如果X,Y相互独立,则( ).(A)D(XY)= D(X)D(Y)(B)D(XY)= D(X)D(Y)(C)D(XY)= D(X)D(Y)(D)D(XY)= D(X)D(Y)

如果X,Y相互独立,则( ).

(A) $D(XY)=D(X)D(Y)$

(B) $D(X+3Y)=D(X)+3D(Y)$

(D) $D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)$

题目解答

答案：D

A. $D(XY)=E[XY-E(XY)]^2$

$=E\left(X^2Y^2\right)-2XYE(XY)+E^2(XY)$

$=E(X^2)E(Y^2)-2E^2(X)E^2(Y)+E^2(X)E^2(Y)$

$=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)$

如果 $E(X)=E(Y)=0$ ,

那么 $D(XY)=E(X^2)E(Y^2)=D(X)D(Y)$

也就是说当X,Y独立，且X,Y的数学期望均为零时，等式才成立。则A错误。

B.C.D.由方差公式可得：

$D\left(aX+bY\right)=a^2D\left(X\right)+b^2D\left(Y\right)$

则 $D(X+3Y)=D(X)+3^2D(Y)=D(X)+9D(Y)$

$D(3X-2Y)=3^2D(X)+2^2D(Y)=9D(X)+4D(Y)$

则B错误，C错误，D正确。

本题考查独立随机变量的方差性质，核心在于掌握方差的线性性质及独立变量的协方差为零的结论。解题关键点：

选项A分析

题目中选项A的表达式可能存在排版错误，实际应为$D(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2$。根据方差定义，此式正确，但需注意：

选项B分析

根据方差性质：
$D(X + 3Y) = D(X) + 9D(Y)$
但选项B中系数为$3$而非$9$，错误。

选项C分析

根据方差性质：
$D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y)$
但选项C中符号为减号，错误。

选项D分析

直接应用方差性质：
$D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y)$
正确。