甲一年内换了三套房屋进行租住，已知甲在每套房屋均租住了整月数，其中在A房屋租住的时间超过6个月，不到9个月。A房屋每月的租金为3900元，B房屋每月的租金为4100元，C房屋每月的租金为4700元。甲全年共支付了49000元的房屋租金。请问甲在C房屋租住了几个月？A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查不定方程的求解，解题思路是先设出甲在A、B、C三种房屋租住的月数，根据已知条件列出方程，再结合各房屋租住时间的范围，通过分析方程中各项的性质来确定未知数的值。

设甲在A房屋租住了$x$个月，在B房屋租住了$y$个月，在C房屋租住了$z$个月。

• 步骤一：根据已知条件列出方程
  已知甲全年共支付了$49000$元的房屋租金，A房屋每月的租金为$3900$元，B房屋每月的租金为$4100$元，C房屋每月的租金为$4700$元，可得到方程$3900x + 4100y + 4700z = 49000$。
  因为$x$、$y$、$z$均为整数，为了方便计算，方程两边同时除以$100$，得到$39x + 41y + 47z = 490$。
• 步骤二：确定$x$的取值范围
  已知甲在A房屋租住的时间超过$6$个月，不到$9$个月，所以$6\lt x\lt9$，又因为$x$为整数，所以$x$只能取$7$或$8$。
• 步骤三：分情况讨论$x$的值
  • 当$x = 7$时，将其代入$39x + 41y + 47z = 490$中，可得$39\times7 + 41y + 47z = 490$，即$273 + 41y + 47z = 490$，进一步化简得到$41y + 47z = 490 - 273 = 217$。
    因为$41y$的个位数字只能是$0$或$1$，$47z$的个位数字只能是$0$、$7$、$4$、$1$、$8$、$5$、$2$、$9$、$6$、$3$，要使$41y + 47z = 217$，则$41y$的个位数字只能是$1$，$47z$的个位数字只能是$6$，所以$z$只能取$8$或$18$等个位数字是$8$的数。
    又因为$x + y + z = 12$，$x = 7$，若$z = 8$，则$y = 12 - 7 - 8 = -3$，不符合$y$为正整数的条件，所以$x = 7$不成立。
  • 当$x = 8$时，将其代入$39x + 41y + 47z = 490$中，可得$39\times8 + 41y + 47z = 490$，即$312 + 41y + 47z = 490$，进一步化简得到$41y + 47z = 490 - 312 = 178$。
    因为$41y$的个位数字只能是$0$或$1$，$47z$的个位数字只能是$0$、$7$、$4$、$1$、$8$、$5$、$2$、$9$、$6$、$3$，要使$41y + 47z = 178$，则$41y$的个位数字只能是$1$，$47z$的个位数字只能是$7$，所以$z$只能取$1$或$11$等个位数字是$1$的数。
    又因为$x + y + z = 12$，$x = 8$，若$z = 1$，则$y = 12 - 8 - 1 = 3$，符合$y$为正整数的条件；若$z = 11$，则$y = 12 - 8 - 11 = -7$，不符合$y$为正整数的条件，所以$z = 2$。