题目
设总体 -U(theta ,3theta ), (X1,X2,···,Xn)为其样本,-|||-则未知参数0的矩估计为 ()-|||-4 x-|||-日 dfrac (1)(2)X-|||-dfrac (2)(5)overrightarrow (X)-|||-回 ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解矩估计的概念
矩估计是利用样本矩来估计总体参数的方法。对于一个随机变量 $X$，其 $k$ 阶矩定义为 $E(X^k)$，其中 $E$ 表示期望值。对于一个均匀分布 $X \sim U(a, b)$，其期望值 $E(X)$ 可以通过公式 $E(X) = \frac{a+b}{2}$ 计算。
步骤 2：计算总体的期望值
对于给定的均匀分布 $X \sim U(0, 30)$，其期望值 $E(X)$ 可以通过公式 $E(X) = \frac{0+30}{2} = 15$ 计算。
步骤 3：利用样本均值估计总体参数
样本均值 $\overline{X}$ 是总体期望值 $E(X)$ 的一个无偏估计量。因此，我们可以通过样本均值 $\overline{X}$ 来估计总体参数 $\theta$。由于 $E(X) = 15$，我们有 $\theta = 2E(X) = 2 \times 15 = 30$。但是，题目要求的是 $\theta$ 的矩估计，即 $\theta$ 的估计值应该与样本均值 $\overline{X}$ 相关。因此，我们有 $\theta = 2\overline{X}$。
步骤 4：选择正确的选项
根据上述分析，未知参数 $\theta$ 的矩估计为 $\frac{1}{2}\overline{X}$，即选项 B。
矩估计是利用样本矩来估计总体参数的方法。对于一个随机变量 $X$，其 $k$ 阶矩定义为 $E(X^k)$，其中 $E$ 表示期望值。对于一个均匀分布 $X \sim U(a, b)$，其期望值 $E(X)$ 可以通过公式 $E(X) = \frac{a+b}{2}$ 计算。
步骤 2：计算总体的期望值
对于给定的均匀分布 $X \sim U(0, 30)$，其期望值 $E(X)$ 可以通过公式 $E(X) = \frac{0+30}{2} = 15$ 计算。
步骤 3：利用样本均值估计总体参数
样本均值 $\overline{X}$ 是总体期望值 $E(X)$ 的一个无偏估计量。因此，我们可以通过样本均值 $\overline{X}$ 来估计总体参数 $\theta$。由于 $E(X) = 15$，我们有 $\theta = 2E(X) = 2 \times 15 = 30$。但是，题目要求的是 $\theta$ 的矩估计，即 $\theta$ 的估计值应该与样本均值 $\overline{X}$ 相关。因此，我们有 $\theta = 2\overline{X}$。
步骤 4：选择正确的选项
根据上述分析，未知参数 $\theta$ 的矩估计为 $\frac{1}{2}\overline{X}$，即选项 B。