8. (10.0分) 设随机变量X_(1),X_(2),... X_(50)相互独立，且X_(i)服从以0.1为参数的泊松分布，i=1,2,... 50， 则sum_(i=1)^50X_(i)近似服从（） (5.0)A. N(5,5)B. N((1)/(5),(1)/(5))C. N(5,(1)/(5))D. N(0.1,(1)/(500))

本题考查知识点为独立同分布的中心极限定理以及泊松分布的期望和方差。解题思路是先根据泊松分布的性质求出单个随机变量的期望和方差，再利用独立同分布的中心极限定理确定$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$近似服从的正态分布。

步骤一：求单个随机变量$X_{i}$的期望和方差

已知$X_{i}$服从以$0.1$为参数的泊松分布，记为$X_{i}\sim P(0.1)$。
对于泊松分布$X\sim P(\lambda)$，其期望$E(X)=\lambda$，方差$D(X)=\lambda$。
所以对于$X_{i}\sim P(0.1)$，有$E(X_{i}) = 0.1$，$D(X_{i}) = 0.1$，$i = 1,2,\cdots,50$。

步骤二：求$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$的期望和方差

因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{50}$相互独立，根据期望和方差的性质：

• 期望的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$。
  所以$E(\sum_{i = 1}^{50}X_{i})=\sum_{i = 1}^{50}E(X_{i}) = 50\times0.1 = 5$。
• 方差的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，则$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。
  所以$D(\sum_{i = 1}^{50}X_{i})=\sum_{i = 1}^{50}D(X_{i}) = 50\times0.1 = 5$。

步骤三：根据中心极限定理确定$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$近似服从的分布

独立同分布的中心极限定理：设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2}\neq0$，$i = 1,2,\cdots,n$，则当$n$充分大时（一般$n\geq30$），$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^{2})$。
在本题中，$n = 50$，$\mu = E(X_{i}) = 0.1$，$\sigma^{2} = D(X_{i}) = 0.1$，所以$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$近似服从$N(5,5)$。