【填空题】波长为 550 nm 的单色光垂直入射于光栅常数 d =2 × 10 - 4 cm 的平面衍射光栅上,可能观察到光谱线的最高级次为第 ___ 级

本题考查光栅衍射中最高级次的计算，核心在于利用光栅方程 $d \sin\theta = k\lambda$，并结合 $\sin\theta \leq 1$ 的限制条件，确定最大整数解。关键点包括：

1. 单位统一：将光栅常数 $d$ 和波长 $\lambda$ 转换为相同单位；
2. 不等式求解：通过 $k \leq \frac{d}{\lambda}$ 计算理论最大值，取整数部分；
3. 实际可行性验证：确保对应角度 $\theta$ 存在。

步骤1：单位转换

• 光栅常数 $d = 2 \times 10^{-4} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-6} \, \text{m}$；
• 波长 $\lambda = 550 \, \text{nm} = 550 \times 10^{-9} \, \text{m} = 5.5 \times 10^{-7} \, \text{m}$。

步骤2：计算理论最大级次

根据光栅方程 $d \sin\theta = k\lambda$，当 $\sin\theta = 1$ 时，级次最大：
$k_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^{-7}} \right\rfloor \approx \left\lfloor 3.636 \right\rfloor = 3.$

步骤3：验证可行性

• 当 $k=3$ 时，$\sin\theta = \frac{3\lambda}{d} = \frac{3 \times 550}{2000} = 0.825$，对应 $\theta \approx 55.6^\circ$，存在解；
• 当 $k=4$ 时，$\sin\theta = \frac{4 \times 550}{2000} = 1.1$，超过 $\sin\theta$ 的取值范围，无解。

综上，最高级次为 3级。