题目
4.设总体 backsim N(mu ,16), X1,X2,X3,X4为其样本,检验假设 _(0):mu =5 _(1):mu neq 5 alpha =0.05, 则X-|||-的接受域为 __ 若 =6, 犯第二类错误的概率 beta = __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于总体 $X\sim N(\mu ,16)$，且样本容量为4，因此样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{16}{4}) = N(\mu, 4)$。检验统计量为 $U = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{4}{\sqrt{4}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{2}$，其中 $\mu = 5$。
步骤 2：确定接受域
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，双侧检验的临界值为 $U_{\frac{\alpha}{2}} = U_{0.025} = 1.96$。因此，接受域为 $|U| < 1.96$，即 $|\frac{\overline{X} - 5}{2}| < 1.96$，从而得到 $|\overline{X} - 5| < 3.92$。所以，接受域为 $(1.08, 8.92)$。
步骤 3：计算第二类错误的概率
当 $\mu = 6$ 时，检验统计量为 $U = \frac{\overline{X} - 6}{2}$。第二类错误的概率 $\beta$ 为在 $\mu = 6$ 时接受 $H_0$ 的概率，即 $P(1.08 < \overline{X} < 8.92 | \mu = 6)$。由于 $\overline{X} \sim N(6, 4)$，因此 $P(1.08 < \overline{X} < 8.92 | \mu = 6) = P(\frac{1.08 - 6}{2} < \frac{\overline{X} - 6}{2} < \frac{8.92 - 6}{2}) = P(-2.46 < U < 1.46)$。查标准正态分布表，得到 $P(-2.46 < U < 1.46) = \Phi(1.46) - \Phi(-2.46) = 0.9279 - 0.0069 = 0.9210$。
由于总体 $X\sim N(\mu ,16)$，且样本容量为4，因此样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{16}{4}) = N(\mu, 4)$。检验统计量为 $U = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{4}{\sqrt{4}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{2}$，其中 $\mu = 5$。
步骤 2：确定接受域
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，双侧检验的临界值为 $U_{\frac{\alpha}{2}} = U_{0.025} = 1.96$。因此，接受域为 $|U| < 1.96$，即 $|\frac{\overline{X} - 5}{2}| < 1.96$，从而得到 $|\overline{X} - 5| < 3.92$。所以，接受域为 $(1.08, 8.92)$。
步骤 3：计算第二类错误的概率
当 $\mu = 6$ 时，检验统计量为 $U = \frac{\overline{X} - 6}{2}$。第二类错误的概率 $\beta$ 为在 $\mu = 6$ 时接受 $H_0$ 的概率，即 $P(1.08 < \overline{X} < 8.92 | \mu = 6)$。由于 $\overline{X} \sim N(6, 4)$，因此 $P(1.08 < \overline{X} < 8.92 | \mu = 6) = P(\frac{1.08 - 6}{2} < \frac{\overline{X} - 6}{2} < \frac{8.92 - 6}{2}) = P(-2.46 < U < 1.46)$。查标准正态分布表，得到 $P(-2.46 < U < 1.46) = \Phi(1.46) - \Phi(-2.46) = 0.9279 - 0.0069 = 0.9210$。