题目

设 f(x) = int_(0)^x (t^2)/(sqrt(a^2 + t^2)) , dt，g(x) = bx - sin x（a, b > 0）。当 x to 0 时，f(x) 是 g(x) 的等价无穷小，则 a, b 分别为（ ）。(A) 1, 1(B) 2, 1(C) 3, 1(D) 2, 2

设 $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} \, dt$，$g(x) = bx - \sin x$（$a, b > 0$）。当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小，则 $a, b$ 分别为（ ）。 (A) $1, 1$ (B) $2, 1$ (C) $3, 1$ (D) $2, 2$

题目解答

答案

我们来分析题目： --- ### **题目给出的函数：** - $ f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} \, dt $ - $ g(x) = bx - \sin x $ --- ### **题目条件：** 当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) \sim g(x) $，即 **等价无穷小**。 --- ### **目标：** 求出常数 $ a $ 和 $ b $ 的值。 --- ## **第一步：分析 $ f(x) $ 的泰勒展开** 我们先对 $ f(x) $ 在 $ x \to 0 $ 附近进行泰勒展开。 由于 $ f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} \, dt $，我们可以考虑对被积函数在 $ t \to 0 $ 时进行泰勒展开。 --- ### **被积函数：** $$ \frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} = t^2 \cdot (a^2 + t^2)^{-1/2} $$ 我们可以对 $ (a^2 + t^2)^{-1/2} $ 在 $ t \to 0 $ 处展开： $$ (a^2 + t^2)^{-1/2} = a^{-1} \left(1 + \frac{t^2}{a^2}\right)^{-1/2} \approx a^{-1} \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{a^2} + \cdots \right) $$ 所以： $$ \frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} \approx t^2 \cdot \left( a^{-1} - \frac{1}{2a^3} t^2 + \cdots \right) = \frac{t^2}{a} - \frac{t^4}{2a^3} + \cdots $$ --- ### **积分后：** $$ f(x) = \int_0^x \left( \frac{t^2}{a} - \frac{t^4}{2a^3} + \cdots \right) dt = \frac{x^3}{3a} - \frac{x^5}{10a^3} + \cdots $$ --- ## **第二步：分析 $ g(x) = bx - \sin x $** 我们知道： $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots $$ 所以： $$ g(x) = bx - \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots \right) = (b - 1)x + \frac{x^3}{6} - \cdots $$ --- ## **第三步：令 $ f(x) \sim g(x) $，即等价无穷小** 我们比较两个函数在 $ x \to 0 $ 时的主项。 - $ f(x) \sim \frac{x^3}{3a} $ - $ g(x) \sim (b - 1)x + \frac{x^3}{6} $ 注意：**等价无穷小要求两个函数在 $ x \to 0 $ 时主项相同，且高阶项也相同。** 所以，我们比较主项： ### **1. 一次项：** - $ f(x) $ 没有一次项（从 $ x^3 $ 开始） - $ g(x) $ 有一次项 $ (b - 1)x $ 所以，要使 $ f(x) \sim g(x) $，必须让 $ g(x) $ 也没有一次项，即： $$ b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1 $$ --- ### **2. 三次项：** - $ f(x) \sim \frac{x^3}{3a} $ - $ g(x) \sim \frac{x^3}{6} $ 令这两个相等： $$ \frac{1}{3a} = \frac{1}{6} \Rightarrow a = 2 $$ --- ## **最终答案：** $$ \boxed{a = 2,\quad b = 1} $$ --- ## **选择项：** - (A) $1, 1$ - (B) $2, 1$ - (C) $3, 1$ - (D) $2, 2$ ✅ 正确答案是：**(B)** --- ## **答：** $$ \boxed{\text{(B) } a = 2,\ b = 1} $$

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判定及泰勒展开的应用，需要将两个函数在$x \to 0$时展开到足够阶数，比较主项系数确定参数。

解题核心思路：

  1. 泰勒展开：将$f(x)$和$g(x)$分别展开为泰勒级数，找到各自的主部。
  2. 比较系数：根据等价无穷小的定义，要求两函数的主项系数相等，从而解出$a$和$b$。

破题关键点：

  • 被积函数展开：对$\frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}}$进行泰勒展开，积分后得到$f(x)$的展开式。
  • 一次项消去：$g(x)$中的一次项必须为零，否则无法与$f(x)$（无一次项）等价。
  • 三次项匹配：比较$f(x)$和$g(x)$的三次项系数，确定$a$的值。

步骤1：展开$f(x)$的被积函数

被积函数为$\frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}}$，当$t \to 0$时，展开得：
$\frac{t^2}{\sqrt{a^2 + t^2}} = \frac{t^2}{a} \left(1 - \frac{t^2}{2a^2} + \cdots \right) = \frac{t^2}{a} - \frac{t^4}{2a^3} + \cdots$

步骤2：积分得到$f(x)$的展开式

对展开后的被积函数积分：
$f(x) = \int_0^x \left( \frac{t^2}{a} - \frac{t^4}{2a^3} + \cdots \right) dt = \frac{x^3}{3a} - \frac{x^5}{10a^3} + \cdots$

步骤3：展开$g(x)$

利用$\sin x$的泰勒展开：
$g(x) = bx - \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots \right) = (b-1)x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots$

步骤4：比较主项系数

  1. 一次项：$f(x)$无一次项，故$g(x)$中的一次项系数必须为零：
    $b - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1$
  2. 三次项：比较三次项系数：
    $\frac{1}{3a} = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad a = 2$