题目
三、填空题（共10题，20.0分）63.（填空题，2.0分）设X1,X2,...Xn是来自正态总体N(μ,σ^2)的简单随机样本，则平均值Xbar服从（）分布
三、填空题（共10题，20.0分）
63.（填空题，2.0分）
设X1,X2,...Xn是来自正态总体N(μ,σ^2)的简单随机样本，则平均值Xbar服从（）分布
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，样本均值为 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
1. **期望值**：
\[
E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu
\]
2. **方差**：
\[
\text{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
\]
由于正态分布的线性组合仍为正态分布，$\bar{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
**答案：** $\boxed{N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)}$
解析
考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值的分布规律，涉及正态分布的性质及期望、方差的计算。
解题核心思路：
- 正态分布的线性组合仍为正态分布，样本均值是观测值的线性组合，因此其分布仍为正态。
- 计算样本均值的期望和方差：
- 期望与原总体均值相同；
- 方差为原总体方差除以样本量。
破题关键点：
- 明确正态分布的封闭性（线性组合仍为正态）；
- 熟练应用期望和方差的线性性质。
设简单随机样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值为 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
步骤1：计算期望
根据期望的线性性质：
$E(\bar{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu.$
步骤2：计算方差
由于样本独立，方差可加：
$\text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.$
步骤3：确定分布
正态分布的线性组合仍为正态分布，因此 $\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$。