题目
已知随机变量sim N(1,(2)^2) sim N(0,1)，并且它们相互独立，则sim N(1,(2)^2) sim N(0,1)_________.
已知随机变量
，并且它们相互独立，则
_________.
题目解答
答案
表示X服从参数
的正态分布，则
，
表示Y服从标准正态分布，则
，X与Y相互独立，则
，
，则
，则
.
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布参数
$X\sim N(1,2^2)$表示X服从参数$\mu=1$，$\sigma^2=4$的正态分布。$Y\sim N(0,1)$表示Y服从参数$\mu=0$，$\sigma^2=1$的正态分布。
步骤 2：计算X+Y的期望和方差
由于X和Y相互独立，所以$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+0=1$，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5$。因此，$X+Y\sim N(1,5)$。
步骤 3：计算$P\{ X+Y\geqslant 1\}$
$P\{ X+Y\geqslant 1\} =P\{ \dfrac {X+Y-1}{\sqrt {5}}\geqslant 0\} =1-\Phi (0)$，其中$\Phi (0)$是标准正态分布的累积分布函数在0处的值，即$\Phi (0)=0.5$。因此，$P\{ X+Y\geqslant 1\} =1-0.5=0.5$。
$X\sim N(1,2^2)$表示X服从参数$\mu=1$，$\sigma^2=4$的正态分布。$Y\sim N(0,1)$表示Y服从参数$\mu=0$，$\sigma^2=1$的正态分布。
步骤 2：计算X+Y的期望和方差
由于X和Y相互独立，所以$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+0=1$，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5$。因此，$X+Y\sim N(1,5)$。
步骤 3：计算$P\{ X+Y\geqslant 1\}$
$P\{ X+Y\geqslant 1\} =P\{ \dfrac {X+Y-1}{\sqrt {5}}\geqslant 0\} =1-\Phi (0)$，其中$\Phi (0)$是标准正态分布的累积分布函数在0处的值，即$\Phi (0)=0.5$。因此，$P\{ X+Y\geqslant 1\} =1-0.5=0.5$。