设总体 sim b(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(1)求(X1,X2 ,.,Xn)的分布律.-|||-(2)求 sum _(i=1)^n(X)_(i), 的分布律.-|||-(3)求E(X),D(X ),E(S^2).

1. 联合分布律：考查独立随机变量的联合分布律。由于样本独立，联合分布律为各变量分布律的乘积。
2. 和的分布律：考查独立同分布伯努利变量和的分布，属于二项分布。
3. 期望与方差：考查二点分布的期望、方差，样本均值的性质，以及样本方差的无偏性。

第（1）题

独立性与乘积形式

每个$X_i$独立且服从$b(1,p)$，分布律为：
$P\{X_i = x_i\} = p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}, \quad x_i = 0,1$
联合分布律为各变量分布律的乘积：
$P\{X_1=x_1, X_2=x_2, \dots, X_n=x_n\} = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$

化简表达式

将乘积展开后，指数部分可合并为总和形式：
$= p^{\sum_{i=1}^{n} x_i} (1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}$

第（2）题

伯努利变量和的性质

$\sum_{i=1}^{n} X_i$表示$n$次独立试验的成功次数，服从二项分布$b(n,p)$。

分布律表达式

其概率质量函数为：
$P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_i = k\right\} = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n$

第（3）题

总体矩计算

对于$b(1,p)$，有：
$E(X) = p, \quad D(X) = p(1-p)$

样本均值的性质

样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$，故：
$E(\overline{X}) = p, \quad D(\overline{X}) = \frac{p(1-p)}{n}$

样本方差的无偏性

样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，满足：
$E(S^2) = D(X) = p(1-p)$