题目

[题目]已知随机变量X的分布列为:-|||-X 0 1 2 3-|||-p 0.2 0.2 0.3 0.2-|||-试求D(X)和 (2x-1).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查随机变量方差的计算，以及线性变换对方差的影响。

解题思路：

  1. 计算期望：根据分布列计算随机变量X的期望E(X)。
  2. 计算方差：利用公式 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$，逐项计算各取值与期望的差的平方乘以概率之和。
  3. 线性变换的方差性质：对于 $D(aX + b)$，直接应用公式 $D(aX + b) = a^2 D(X)$，无需重新计算分布列。

关键点：

  • 方差公式的正确应用。
  • 线性变换性质的灵活使用，简化计算。

步骤1：计算期望 $E(X)$

根据分布列：
$E(X) = 0 \times 0.2 + 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.2 + 4 \times 0.1 = 1.8$

步骤2：计算方差 $D(X)$

$\begin{aligned}D(X) &= (0 - 1.8)^2 \times 0.2 + (1 - 1.8)^2 \times 0.2 + (2 - 1.8)^2 \times 0.3 \\&\quad + (3 - 1.8)^2 \times 0.2 + (4 - 1.8)^2 \times 0.1 \\&= 3.24 \times 0.2 + 0.64 \times 0.2 + 0.04 \times 0.3 + 1.44 \times 0.2 + 4.84 \times 0.1 \\&= 0.648 + 0.128 + 0.012 + 0.288 + 0.484 = 1.56\end{aligned}$

步骤3：计算 $D(2X - 1)$

方法1（方差性质）：
$D(2X - 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 1.56 = 6.24$

方法2（直接计算）：

  1. 确定分布列：$2X - 1$ 的取值为 $-1, 1, 3, 5, 7$，对应概率为 $0.2, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1$。
  2. 计算期望：
    $E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 \times 1.8 - 1 = 2.6$
  3. 计算方差：
    $\begin{aligned}D(2X - 1) &= (-1 - 2.6)^2 \times 0.2 + (1 - 2.6)^2 \times 0.2 + (3 - 2.6)^2 \times 0.3 \\&\quad + (5 - 2.6)^2 \times 0.2 + (7 - 2.6)^2 \times 0.1 \\&= 12.96 \times 0.2 + 2.56 \times 0.2 + 0.16 \times 0.3 + 5.76 \times 0.2 + 19.36 \times 0.1 \\&= 2.592 + 0.512 + 0.048 + 1.152 + 1.936 = 6.24\end{aligned}$