题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2)为来自总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2)的简单随机样本，_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2)为样本均值，_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2)为样本方差，则（ ） A. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2) B. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2) C. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2) D. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)(ngeqslant 2)
设
为来自总体
的简单随机样本，
为样本均值，
为样本方差，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
D. $\dfrac {(n-1){{X}_{1}}^{2}}{\sum _{i=2}^{n}{X}_{1}}\sim F(1,n-1)$
解析
步骤 1：理解样本均值和样本方差的性质
样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$是统计学中常用的两个统计量。对于来自总体N(0,1)的简单随机样本${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(0,\frac{1}{n})$，样本方差$S^2$的分布为$\frac{(n-1)S^2}{1}\sim \chi^2(n-1)$。
步骤 2：分析选项A
选项A：$n\overline{X}\sim N(0,1)$
根据样本均值的性质，$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{n})$，因此$n\overline{X}\sim N(0,1)$，选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B：$n{S}^{2}\sim {x}^{2}(n)$
根据样本方差的性质，$\frac{(n-1)S^2}{1}\sim \chi^2(n-1)$，因此$n{S}^{2}\sim {x}^{2}(n)$不正确，选项B错误。
步骤 4：分析选项C
选项C：$\dfrac {(n-1)\overline {X}}{S}\sim t(n-1)$
根据t分布的定义，$\dfrac {\overline {X}}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$，因此$\dfrac {(n-1)\overline {X}}{S}\sim t(n-1)$不正确，选项C错误。
步骤 5：分析选项D
选项D：$\dfrac {(n-1){{X}_{1}}^{2}}{\sum _{i=2}^{n}{X}_{1}}\sim F(1,n-1)$
根据F分布的定义，$\dfrac {(n-1){{X}_{1}}^{2}}{\sum _{i=2}^{n}{X}_{1}}\sim F(1,n-1)$，因此选项D正确。
样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$是统计学中常用的两个统计量。对于来自总体N(0,1)的简单随机样本${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(0,\frac{1}{n})$，样本方差$S^2$的分布为$\frac{(n-1)S^2}{1}\sim \chi^2(n-1)$。
步骤 2：分析选项A
选项A：$n\overline{X}\sim N(0,1)$
根据样本均值的性质，$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{n})$，因此$n\overline{X}\sim N(0,1)$，选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B：$n{S}^{2}\sim {x}^{2}(n)$
根据样本方差的性质，$\frac{(n-1)S^2}{1}\sim \chi^2(n-1)$，因此$n{S}^{2}\sim {x}^{2}(n)$不正确，选项B错误。
步骤 4：分析选项C
选项C：$\dfrac {(n-1)\overline {X}}{S}\sim t(n-1)$
根据t分布的定义，$\dfrac {\overline {X}}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$，因此$\dfrac {(n-1)\overline {X}}{S}\sim t(n-1)$不正确，选项C错误。
步骤 5：分析选项D
选项D：$\dfrac {(n-1){{X}_{1}}^{2}}{\sum _{i=2}^{n}{X}_{1}}\sim F(1,n-1)$
根据F分布的定义，$\dfrac {(n-1){{X}_{1}}^{2}}{\sum _{i=2}^{n}{X}_{1}}\sim F(1,n-1)$，因此选项D正确。