题目
八.（10 分）某种元件寿命服从正态分布 X~N (, 2)，现测得 9 只元件寿命（天）为：195，200，220，240，260，265，270，295，305(1) 求样本均值与样本方差； (2) 求参数的置信区间 (=0.05)；(3) 在显著性水平 = 0.05 下，问能否认为元件寿命的标准差为 25？参考数据：t0.05(8)=1.86，t0.05(9)=1.83，t0.025(9)=2.26，t0.025(8)=2.31，20.05(8)=15.51，20.05(9)=16.92，20.025(8)=17.54，20.975(8)=2.18，20.95( 9)=3.33， 20.95(8)=2.73。
八.（10 分）某种元件寿命服从正态分布 X~N (, 2)，现测得 9 只元件寿命（天）
为：195，200，220，240，260，265，270，295，305
(1) 求样本均值与样本方差； (2) 求参数的置信区间 (=0.05)；
(3) 在显著性水平 = 0.05 下，问能否认为元件寿命的标准差为 25？
参考数据：t0.05(8)=1.86，t0.05(9)=1.83，t0.025(9)=2.26，t0.025(8)=2.31，20.05(8)=15.51，
20.05(9)=16.92，20.025(8)=17.54，20.975(8)=2.18，20.95( 9)=3.33， 20.95(8)=2.73。
题目解答
答案
八. (1) x 1 195 9 200 220 240 260 265 270 295 305 250 ,
s 2 1 8 55 2 50 2 30 2 10 2 10 2 15 2 20 2 45 2 55 2 12300 8 1537.5
（2） n x s t 0.025 n 9 ( ( 1)) (250 1537.5 2.31) (250 52.29) (197.71,302.29)
(3) H0: 2 2 25 , H 2 : 2 25 ，用 2 检验法
1
N 2 S 25 ( 2 )1 因 12300 2 19 .0 025 2 . 68 ( 8 ) 17 . 54
所以拒绝 H0 ，不能认为元件寿命的标准差为 25。
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 x̄ 计算公式为：x̄ = (1/n) * Σxi，其中 n 是样本数量，xi 是每个样本的值。
x̄ = (1/9) * (195 + 200 + 220 + 240 + 260 + 265 + 270 + 295 + 305) = 250
步骤 2：计算样本方差
样本方差 s² 计算公式为：s² = (1/(n-1)) * Σ(xi - x̄)²，其中 n 是样本数量，xi 是每个样本的值，x̄ 是样本均值。
s² = (1/8) * [(195-250)² + (200-250)² + (220-250)² + (240-250)² + (260-250)² + (265-250)² + (270-250)² + (295-250)² + (305-250)²] = 1537.5
步骤 3：求参数的置信区间
置信区间计算公式为：x̄ ± t(α/2, n-1) * (s / √n)，其中 x̄ 是样本均值，t(α/2, n-1) 是 t 分布的临界值，s 是样本标准差，n 是样本数量。
置信区间 = 250 ± 2.31 * (√1537.5 / √9) = (197.71, 302.29)
步骤 4：检验元件寿命的标准差是否为 25
使用卡方检验法，计算卡方统计量：χ² = (n-1) * s² / σ²，其中 n 是样本数量，s² 是样本方差，σ² 是假设的标准差的平方。
χ² = (9-1) * 1537.5 / 25² = 19.0025
比较卡方统计量与临界值：χ²(0.025, 8) = 17.54
因为 19.0025 > 17.54，所以拒绝原假设，不能认为元件寿命的标准差为 25。
样本均值 x̄ 计算公式为：x̄ = (1/n) * Σxi，其中 n 是样本数量，xi 是每个样本的值。
x̄ = (1/9) * (195 + 200 + 220 + 240 + 260 + 265 + 270 + 295 + 305) = 250
步骤 2：计算样本方差
样本方差 s² 计算公式为：s² = (1/(n-1)) * Σ(xi - x̄)²，其中 n 是样本数量，xi 是每个样本的值，x̄ 是样本均值。
s² = (1/8) * [(195-250)² + (200-250)² + (220-250)² + (240-250)² + (260-250)² + (265-250)² + (270-250)² + (295-250)² + (305-250)²] = 1537.5
步骤 3：求参数的置信区间
置信区间计算公式为：x̄ ± t(α/2, n-1) * (s / √n)，其中 x̄ 是样本均值，t(α/2, n-1) 是 t 分布的临界值，s 是样本标准差，n 是样本数量。
置信区间 = 250 ± 2.31 * (√1537.5 / √9) = (197.71, 302.29)
步骤 4：检验元件寿命的标准差是否为 25
使用卡方检验法，计算卡方统计量：χ² = (n-1) * s² / σ²，其中 n 是样本数量，s² 是样本方差，σ² 是假设的标准差的平方。
χ² = (9-1) * 1537.5 / 25² = 19.0025
比较卡方统计量与临界值：χ²(0.025, 8) = 17.54
因为 19.0025 > 17.54，所以拒绝原假设，不能认为元件寿命的标准差为 25。