题目
设X1，X2，…，Xn是总体X的一个样本，则下列结论不正确的是（）。 A. 样本均值-|||-overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) 是总体均值 =E(x) 的无偏估计量-|||-B. 样本方差-|||-(hat {S)}^2=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 是总体方差σ^2的无偏估计量-|||-C. 样本方差-|||-^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-overline (X))}^2 是总体方差σ^2的无偏估计量-|||-D. 样本K阶矩-|||-_(k)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({x)_(i)}^k 是 总体K阶矩μ的无偏估计量 A．A B．B C．C D．D
设X1，X2，…，Xn是总体X的一个样本，则下列结论不正确的是（）。 
A．A B．B C．C D．D
A．A B．B C．C D．D题目解答
答案
B. 样本方差${\hat {S}}^{2}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 是总体方差σ^2的无偏估计量
解析
步骤 1：样本均值的无偏性
样本均值 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是总体均值 $\mu =E(X)$ 的无偏估计量，因为 $E(\overline {X}) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\right) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}) = \dfrac {1}{n} \cdot n \mu = \mu$。因此，选项A是正确的。
步骤 2：样本方差的无偏性
样本方差 ${\hat {S}}^{2}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 不是总体方差σ^2的无偏估计量，因为 $E({\hat {S}}^{2}) = \dfrac {n-1}{n} \sigma^2$。因此，选项B是不正确的。
步骤 3：样本方差的无偏性
样本方差 ${S}^{n}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 是总体方差σ^2的无偏估计量，因为 $E({S}^{n}) = \sigma^2$。因此，选项C是正确的。
步骤 4：样本K阶矩的无偏性
样本K阶矩 ${A}_{k}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}^{k}$ 是总体K阶矩μL的无偏估计量，因为 $E({A}_{k}) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}^{k}\right) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}^{k}) = \dfrac {1}{n} \cdot n \mu_k = \mu_k$。因此，选项D是正确的。
样本均值 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是总体均值 $\mu =E(X)$ 的无偏估计量，因为 $E(\overline {X}) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\right) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}) = \dfrac {1}{n} \cdot n \mu = \mu$。因此，选项A是正确的。
步骤 2：样本方差的无偏性
样本方差 ${\hat {S}}^{2}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 不是总体方差σ^2的无偏估计量，因为 $E({\hat {S}}^{2}) = \dfrac {n-1}{n} \sigma^2$。因此，选项B是不正确的。
步骤 3：样本方差的无偏性
样本方差 ${S}^{n}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$ 是总体方差σ^2的无偏估计量，因为 $E({S}^{n}) = \sigma^2$。因此，选项C是正确的。
步骤 4：样本K阶矩的无偏性
样本K阶矩 ${A}_{k}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}^{k}$ 是总体K阶矩μL的无偏估计量，因为 $E({A}_{k}) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}^{k}\right) = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}^{k}) = \dfrac {1}{n} \cdot n \mu_k = \mu_k$。因此，选项D是正确的。