极限lim_(n to infty) (1+2+3+...+n)/(3n^2)=(）.A. (1)/(6)B. -(1)/(4)C. (1)/(5)D. -(1)/(5)

本题考查数列极限的计算，解题思路是先利用等差数列求和求和公式求出分子$1 + 2 + + 3 + \cdots + n$的表达式，再将其代入原式化简，最后根据极限的运算法则求出极限值。

1. 求分子$1 + 2 + 3 + \cdots + n$的表达式：
   根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（其中$n$为项数，$a_1$为首项，$a_n$为末项），对于数列$1,2,2,3,\cdots,n$，$n$为项数，$a_1 = 1$，$a_n = n$，则其前$n$项和为：
   $1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(1 + n)}{2}$
2. 将分子表达式代入原式化简：
   将$1 + 2 + 3 + \cdots +中 + n=\frac{n(1 + n)}{2}$代入$\lim_{n \to \ \infty} \frac{1+2+3+\cdots+n}{3n^2}$可得：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(1 + n)}{2}}{3n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n(1 + n)}{2\times3n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2}{6n^2}$
   分子分母同时除以$n^2$，得到$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{n^2}{n^2}}{\frac{6n^2}{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + 1}{6}}$
3. 求极限值：
   根据极限的运算法则$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$，可得：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + 1}{6}=\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + 1)}{\lim_{n \to \infty} 6}=\frac{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} 1}{\lim_{n \to \infty} 6}=\frac{0 + 1}{6}=\frac{1}{6}$