题目
某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 （Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为N，规定原始成绩排名为n的学生赋分成绩如下：当0＜(n)/(N)≤25%时，赋分成绩为100分；当25%＜(n)/(N)≤50%时，赋分成绩为85分；当50%＜(n)/(N)≤75%时，赋分成绩为70分；当75%＜(n)/(N)时，赋分成绩为60分．①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记X为这2人赋分成绩之和，求X的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为Y1，Y2，直接写出数学期望EY1和EY2的大小关系．
某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：
（Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为N，规定原始成绩排名为n的学生赋分成绩如下：
当$0＜\frac{n}{N}≤25%$时，赋分成绩为100分；
当$25%＜\frac{n}{N}≤50%时$，赋分成绩为85分；
当$50%＜\frac{n}{N}≤75%$时，赋分成绩为70分；
当$75%＜\frac{n}{N}$时，赋分成绩为60分．
①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记X为这2人赋分成绩之和，求X的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为Y1，Y2，直接写出数学期望EY1和EY2的大小关系．
| 原始成绩 | 8.75 | 8.25 | 8.25 | 6.75 | 6.75 | 6.5 | 6 | 5.5 | 5.25 | 4.25 | 3.75 | 3.25 |
| 排名 | 1 | 2 | 2 | 4 | 4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为N，规定原始成绩排名为n的学生赋分成绩如下：
当$0＜\frac{n}{N}≤25%$时，赋分成绩为100分；
当$25%＜\frac{n}{N}≤50%时$，赋分成绩为85分；
当$50%＜\frac{n}{N}≤75%$时，赋分成绩为70分；
当$75%＜\frac{n}{N}$时，赋分成绩为60分．
①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记X为这2人赋分成绩之和，求X的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
| 原始成绩 | 9.75 | 8 | 8 | 7.5 | 7.5 | 6 | 5.75 | 5.75 |
| 排名 | 1 | 2 | 2 | 4 | 4 | 6 | 7 | 7 |
| 原始成绩 | 5 | 4.75 | 4.5 | 4.5 | 4.25 | 4 | 3.75 | 3.5 |
| 排名 | 9 | 10 | 11 | 11 | 13 | 14 | 15 | 16 |
题目解答
答案
解：（Ⅰ）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件A，
依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，
由古典概型，得$P（A）=\frac{C_{12}^{2}-2}{C_{12}^{2}}=\frac{32}{33}$．
（Ⅱ）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于6.5的学生共有6人，
赋分依次为100，100，100，85，85，85，
则X的所有可能值为170，185，200，
$P（X=170）=\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$，$P（X=185）=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{3}{5}$，
P（X=200）=$\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$，
所以X的分布列如下：
$EX=170×\frac{1}{5}+185×\frac{3}{5}+200×\frac{1}{5}=185$．
②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100，100，100，85，85，85，70，70，70，60，60，60，
对课程乙进行赋分，赋分依次为：100，100，100，100，100，85，85，85，70，70，70，70，60，60，60，60，
因此P（Y1=100）=P（Y1=85）=P（Y1=70）=P（Y1=60）=2，
$E（Y_{1}）=100×\frac{1}{4}+85×\frac{1}{4}+70×\frac{1}{4}+60×\frac{1}{4}=78.75$；
$P（Y_{2}=100）=\frac{5}{16}$，$P（Y_{2}=85）=\frac{3}{16}$，$P（Y_{2}=70）=P（Y_{2}=60）=\frac{1}{4}$，
$E（Y_{2}）=100×\frac{5}{16}+85×\frac{3}{16}+70×\frac{1}{4}+60×\frac{1}{4}=79.6875$，
所以E（Y1）＜E（Y2）．
依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，
由古典概型，得$P（A）=\frac{C_{12}^{2}-2}{C_{12}^{2}}=\frac{32}{33}$．
（Ⅱ）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于6.5的学生共有6人，
赋分依次为100，100，100，85，85，85，
则X的所有可能值为170，185，200，
$P（X=170）=\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$，$P（X=185）=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{3}{5}$，
P（X=200）=$\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$，
所以X的分布列如下：
| X | 170 | 185 | 200 |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100，100，100，85，85，85，70，70，70，60，60，60，
对课程乙进行赋分，赋分依次为：100，100，100，100，100，85，85，85，70，70，70，70，60，60，60，60，
因此P（Y1=100）=P（Y1=85）=P（Y1=70）=P（Y1=60）=2，
$E（Y_{1}）=100×\frac{1}{4}+85×\frac{1}{4}+70×\frac{1}{4}+60×\frac{1}{4}=78.75$；
$P（Y_{2}=100）=\frac{5}{16}$，$P（Y_{2}=85）=\frac{3}{16}$，$P（Y_{2}=70）=P（Y_{2}=60）=\frac{1}{4}$，
$E（Y_{2}）=100×\frac{5}{16}+85×\frac{3}{16}+70×\frac{1}{4}+60×\frac{1}{4}=79.6875$，
所以E（Y1）＜E（Y2）．