题目

现测定某批矿砂的5个样品中的镍含量，设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，经计算得=3.252,, =0.013，问在=3.252,, =0.013下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值3.25。(=3.252,, =0.013)

现测定某批矿砂的5个样品中的镍含量，设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，经计算得 $\overline{x}=3.252,s=0.013$ ，问在 $\alpha=0.01$ 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值3.25。( $t_{0.01}(4)=3.7469,t_{0.005}(4)=4.6041,z_{0.01}=2.32,z_{0.005}=2.58$ )

题目解答

答案

由于镍含量X服从正态分布( $X\sim N(\mu ,\sigma ^2)$ )

依据题意待检验的假设为 $H_0:\mu=3.25,H_1:\mu\ne3.25$

由于 $\sigma^2$ 未知当 $H_0$ 为真时通常选取检验统计量为 (这里n为样本数量，\bar X为样本均值，\mu 为总体均值，S为样本方差)。 $T=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}$

拒绝域为 $W=\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n),|t|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right\}$ （这里 $\alpha$ 为显著性水平）将其中数据代入即可求出拒绝域为 $W=\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)|t|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.05}(4)=4.6041\right\}$ 将 $\overline{X}=3.252,\mu=3.25,S=0.013,n=5$ 带入检验统计量中即可求出 $\left|t\right|=\frac{\sqrt{5}\left(3.252-3.25\right)}{0.013}=0.344$ ，由于 $|t|=0.344$ 不在拒绝域内，所以接受假设 $H_0$ 即在 $\alpha=0.01$ 下能接受这批矿砂的镍含量的均值3.25。

解析

步骤 1：确定假设
根据题意，需要检验的假设是这批矿砂的镍含量的均值是否为3.25。因此，原假设${H}_{0}:\mu =3.25$，备择假设${H}_{1}:\mu \neq 3.25$。

步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，且样本量较小（n=5），应使用t检验。检验统计量为$T=\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{S}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$S$是样本标准差，$n$是样本量。

步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平$\alpha=0.01$下，自由度为$n-1=4$，查t分布表得${t}_{\dfrac {\alpha }{2}}(4)={t}_{0.005}(4)=4.6041$。因此，拒绝域为$|T|>4.6041$。

步骤 4：计算检验统计量的值
将$\overline {X}=3.252$，$\mu =3.25$，$S=0.013$，$n=5$代入检验统计量公式，得$T=\dfrac {\sqrt {5}(3.252-3.25)}{0.013}=0.344$。

步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于$|T|=0.344$不在拒绝域内，即$|T|<4.6041$，因此不拒绝原假设${H}_{0}$。