题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu, sigma^2 均未知，设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体 X 的样本，则 mu 的置信水平为 1 - alpha 的置信区间为()； A. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n))B. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n-1), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n-1))C. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n-1), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha)(n-1))D. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_(alpha/2)(n))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，则 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为()；
- A. $\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n)\right)$
- B. $\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right)$
- C. $\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1)\right)$
- D. $\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n)\right)$
题目解答
答案
当总体方差未知时，使用 t 分布构造均值 $\mu$ 的置信区间。t 统计量为：
\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \]
对于置信水平 $1-\alpha$，查找 t 分布的双侧分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足：
\[ P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \]
解得置信区间为：
\[ \left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right) \]
对应选项 B。
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：确定统计量
当总体方差未知时，使用 t 分布构造均值 $\mu$ 的置信区间。t 统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，$t(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 2：确定置信水平
对于置信水平 $1-\alpha$，查找 t 分布的双侧分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足： \[ P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 这意味着在 $1-\alpha$ 的置信水平下，$T$ 的取值范围为 $(-t_{\alpha/2}(n-1), t_{\alpha/2}(n-1))$。
步骤 3：构造置信区间
根据 t 统计量的定义，可以解得 $\mu$ 的置信区间为： \[ \left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right) \] 这个区间包含了 $\mu$ 的所有可能值，使得在 $1-\alpha$ 的置信水平下，$\mu$ 落在该区间内的概率为 $1-\alpha$。
当总体方差未知时，使用 t 分布构造均值 $\mu$ 的置信区间。t 统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，$t(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 2：确定置信水平
对于置信水平 $1-\alpha$，查找 t 分布的双侧分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$，满足： \[ P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 这意味着在 $1-\alpha$ 的置信水平下，$T$ 的取值范围为 $(-t_{\alpha/2}(n-1), t_{\alpha/2}(n-1))$。
步骤 3：构造置信区间
根据 t 统计量的定义，可以解得 $\mu$ 的置信区间为： \[ \left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right) \] 这个区间包含了 $\mu$ 的所有可能值，使得在 $1-\alpha$ 的置信水平下，$\mu$ 落在该区间内的概率为 $1-\alpha$。