题目
八、(16分)设总体Xsim N(mu,sigma^2)，从中抽取16个样本，样本均值为μ，样本方差为0.36。(1)求μ的置信度为0.95的置信区间；(t_(0.025)(15)=2.1315)(2)若已知μ=2，求σ²的最大似然估计值.
八、(16分)设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，从中抽取16个样本，样本均值为μ，样本方差为0.36。
(1)求μ的置信度为0.95的置信区间；(t_{0.025}(15)=2.1315)
(2)若已知μ=2，求σ²的最大似然估计值.
题目解答
答案
(1) **求 $\mu$ 的置信区间**
已知：$n=16$，$\bar{x}=\mu$，$s^2=0.36$，$t_{0.025}(15)=2.1315$。
置信区间公式：
\[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
代入得：
\[
\mu \pm 2.1315 \cdot \frac{\sqrt{0.36}}{4} = \mu \pm 0.319725
\]
**答案：**
\[
\boxed{\left( \mu - 0.319725, \mu + 0.319725 \right)}
\]
(2) **求 $\sigma^2$ 的最大似然估计值**
已知 $\mu=2$，样本方差 $s^2=0.36$。
正态分布中，样本方差是 $\sigma^2$ 的MLE。
**答案：**
\[
\boxed{0.36}
\]
解析
1. 第（1）题分析
本题考查小样本均值的置信区间估计。由于总体方差未知且样本量为16（小样本），需使用t分布构造置信区间。解题核心是正确代入置信区间公式，注意自由度和样本标准差的计算。
2. 第（2）题分析
本题考查正态分布参数的最大似然估计。已知总体均值$\mu=2$时，$\sigma^2$的最大似然估计（MLE）可直接通过样本方差计算。关键点在于明确MLE的公式形式，并注意题目中给出的样本方差是否已符合MLE的定义。
第（1）题
确定置信区间公式
总体方差未知，使用t分布，置信区间公式为：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中，$\alpha=0.05$，自由度$n-1=15$，$t_{0.025}(15)=2.1315$。
计算样本标准差
样本方差$s^2=0.36$，故样本标准差$s=\sqrt{0.36}=0.6$。
代入公式计算区间
$\mu \pm 2.1315 \cdot \frac{0.6}{\sqrt{16}} = \mu \pm 2.1315 \cdot 0.15 = \mu \pm 0.319725$
第（2）题
最大似然估计公式
正态分布中，当$\mu$已知时，$\sigma^2$的MLE为：
$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$
题目中已给出样本方差$s^2=0.36$，且MLE与样本方差形式一致（此处默认题目中样本方差已按MLE计算），故直接取$s^2=0.36$。