题目

6.函数y=xcos x在(-∞,+∞)内是否有界?这个函数是不是xlongrightarrow +infty时的无穷大?为什么?

6.函数$y=x\cos x$在(-∞,+∞)内是否有界?这个函数是不是$x\longrightarrow +\infty$时的无穷大?为什么?

题目解答

答案

函数 $ y = x \cos x $ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内的有界性分析如下：

  1. 有界性：
    由于 $ |\cos x| \leq 1 $，有 $ |y| = |x \cos x| \leq |x| $。但 $ |x| $ 可以任意大，故不存在常数 $ M $ 使得 $ |y| \leq M $ 对所有 $ x $ 成立。因此，函数无界。

  2. 无穷大：
    当 $ x \to +\infty $ 时，若 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $（$ k $ 为正整数），则 $ \cos x = 0 $，此时 $ y = 0 $。这表明 $ y $ 不会趋于无穷大，不符合无穷大的定义（即对于任意 $ A > 0 $，存在 $ X $，当 $ x > X $ 时，$ |y| > A $）。

结论：
函数 $ y = x \cos x $ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界，但不是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大。

$\boxed{\begin{array}{l}\text{无界，但不是 } x \to +\infty \text{ 时的无穷大。}\end{array}}$

解析

本题主要考察函数的有界性与无穷大的的概念及判断方法。

一、函数有界性的判断

函数$y = x\cos x$在$(-\infty, +\infty)$内是否有界，需依据有界函数的定义：若存在常数$M>0$，对任意$\forall x\in(-\infty,\infty)$，都有$|y(x)|\leq M$，则函数有界，否则无则无界。

  • 由于$\cos x$是有界函数，即$|\cos x|\leq1$，故$|y|=|x\cos x|\leq|x|$。
  • 但当$x|x|$可随$x\to\pm\infty$时，$|x|$可任意大，不存在固定的$M$使得$|y|\leq M$对所有$x$成立。

结论：函数无界。

二、$x\to+\infty$时是否为无穷大

无穷大的定义：对$\forall A>0$，存在\\(\exists X>0\)，当$x>X$时时，$|y(x)|>A$。

  • 取$x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k$为正整数），则$\cos x_k=0$，故$y(x_k)=0$。
  • 对任意$A>0$，无论$取多大的\(X$，当$k$足够大时，$x_k=\frac{\pi}{2}+k\pi>$，但$y(x_k)=0

结论：不是$x\to+\infty$时的无穷大。