题目
5.质量M、半径R的匀质圆盘,可绕通过中心垂直于盘面的光滑轴转动,圆盘原来处-|||-于静止。现有一质量为m,速度为v的子弹,沿圆周切线方向射入圆盘边缘,那么子弹嵌入-|||-圆盘后,(1)圆盘与子弹一起转动的角速度为多少?(2)圆盘和子弹系统损失的机械能为-|||-多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：子弹嵌入圆盘过程中的角动量守恒
子弹嵌入圆盘的过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量守恒。子弹的初动量为 $mvR$，其中 $v$ 是子弹的速度，$R$ 是圆盘的半径。子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动，它们的总转动惯量为 $\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}$，其中 $M$ 是圆盘的质量，$m$ 是子弹的质量。设子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动的角速度为 $\omega$，则有 $mvR=(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2})\omega$。
步骤 2：求解角速度 $\omega$
根据角动量守恒定律，可以求解子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动的角速度 $\omega$。将步骤 1 中的公式变形，得到 $\omega =\dfrac {mv}{(\dfrac {M}{2}+m)R}$。
步骤 3：计算系统损失的机械能
子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动，系统的机械能减少。子弹嵌入前的动能为 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，子弹嵌入后的动能为 $\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}){\omega }^{2}$。系统损失的机械能为 $\Delta E=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}-\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}){\omega }^{2}$。将步骤 2 中的 $\omega$ 代入，得到 $\Delta E=\dfrac {Mm}{2(M+2m)}{v}^{2}$。
子弹嵌入圆盘的过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量守恒。子弹的初动量为 $mvR$，其中 $v$ 是子弹的速度，$R$ 是圆盘的半径。子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动，它们的总转动惯量为 $\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}$，其中 $M$ 是圆盘的质量，$m$ 是子弹的质量。设子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动的角速度为 $\omega$，则有 $mvR=(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2})\omega$。
步骤 2：求解角速度 $\omega$
根据角动量守恒定律，可以求解子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动的角速度 $\omega$。将步骤 1 中的公式变形，得到 $\omega =\dfrac {mv}{(\dfrac {M}{2}+m)R}$。
步骤 3：计算系统损失的机械能
子弹嵌入圆盘后，子弹和圆盘一起转动，系统的机械能减少。子弹嵌入前的动能为 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，子弹嵌入后的动能为 $\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}){\omega }^{2}$。系统损失的机械能为 $\Delta E=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}-\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}+m{R}^{2}){\omega }^{2}$。将步骤 2 中的 $\omega$ 代入，得到 $\Delta E=\dfrac {Mm}{2(M+2m)}{v}^{2}$。