28[单选 (2分)-|||-设由方程 ^2-x(y)^2+y=1 确定的隐函数y,则 '|x=0= ()-|||-bigcirc A. -1-|||-bigcirc B.2-|||-C.0-|||-bigcirc D.1 (h

本题考查隐函数求导以及在某点处导数的值。解题思路是先对给定的方程两边关于$x$求导，然后解出$y'$的表达式，再根据原方程求出$x = 0$时$y$的值，最后将$x = 0$和对应的$y$值代入$y'$的表达式中，计算出$y'\vert_{x = 0}$的值。

步骤一：对给定方程两边关于$x$求导

已知方程$x^{2}-xy^{2}+y = 1$，等式左边求导：

• 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(x^{2})^\prime = 2x$。
• 对于$-xy^{2}$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = -x$，$v = y^{2}$，则$(-xy^{2})^\prime=-y^{2}-2xyy'$。
• $(y)^\prime = y'$。
  等式右边$(1)^\prime = 0$。
  所以对原方程两边求导后得到：$2x - y^{2} - 2xyy' + y' = 0$。

步骤二：解出$y'$的表达式

将含有$y'$的项移到等式一边，其他项移到等式另一边：
$(1 - 2xy)y' = y^{2} - 2x$
两边同时除以$1 - 2xy$，可得$y' = \dfrac{y^{2} - 2x}{1 - 2xy}$。

步骤三：求出$x = 0$时$y$的值

将$x = 0$代入原方程$x^{2}-xy^{2}+y = 1$，得到$0 - 0 + y = 1$，解得$y = 1$。

步骤四：计算$y'\vert_{x = 0}$的值

将$x = 0$，$y = 1$代入$y' = \dfrac{y^{2} - 2x}{1 - 2xy}$，可得：
$y'\vert_{x = 0}=\dfrac{1^{2} - 2\times 0}{1 - 2\times 0\times 1}=\dfrac{1}{1}=1$