题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自正态总体 N(0, 2^2) 的简单随机样本, 现已知随机变量 Y = a(X_1 + 2X_2)^2 + b(X_3 + X_4 + X_5)^2 + c(X_6 + X_7 + X_8 + X_9)^2 服从 chi^2 分布, 则 a, b, c 的值分别为()A. (1)/(8), (1)/(12), (1)/(16)B. (1)/(20), (1)/(12), (1)/(16)C. (1)/(3), (1)/(3), (1)/(3)D. (1)/(2), (1)/(3), (1)/(4)
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本, 现已知随机变量 $Y = a(X_1 + 2X_2)^2 + b(X_3 + X_4 + X_5)^2 + c(X_6 + X_7 + X_8 + X_9)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布, 则 $a, b, c$ 的值分别为()
A. $\frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{20}, \frac{1}{12}, \frac{1}{16}$
C. $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{20}, \frac{1}{12}, \frac{1}{16}$
解析
步骤 1：计算 $X_1 + 2X_2$ 的方差
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_1$ 和 $X_2$ 的方差均为 $4$。因此，$X_1 + 2X_2$ 的方差为 $Var(X_1 + 2X_2) = Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。标准化后，$\frac{(X_1 + 2X_2)^2}{20} \sim \chi^2(1)$，故 $a = \frac{1}{20}$。
步骤 2：计算 $X_3 + X_4 + X_5$ 的方差
由于 $X_3, X_4, X_5$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_3, X_4, X_5$ 的方差均为 $4$。因此，$X_3 + X_4 + X_5$ 的方差为 $Var(X_3 + X_4 + X_5) = Var(X_3) + Var(X_4) + Var(X_5) = 4 \times 3 = 12$。标准化后，$\frac{(X_3 + X_4 + X_5)^2}{12} \sim \chi^2(1)$，故 $b = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算 $X_6 + X_7 + X_8 + X_9$ 的方差
由于 $X_6, X_7, X_8, X_9$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_6, X_7, X_8, X_9$ 的方差均为 $4$。因此，$X_6 + X_7 + X_8 + X_9$ 的方差为 $Var(X_6 + X_7 + X_8 + X_9) = Var(X_6) + Var(X_7) + Var(X_8) + Var(X_9) = 4 \times 4 = 16$。标准化后，$\frac{(X_6 + X_7 + X_8 + X_9)^2}{16} \sim \chi^2(1)$，故 $c = \frac{1}{16}$。
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_1$ 和 $X_2$ 的方差均为 $4$。因此，$X_1 + 2X_2$ 的方差为 $Var(X_1 + 2X_2) = Var(X_1) + 4Var(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20$。标准化后，$\frac{(X_1 + 2X_2)^2}{20} \sim \chi^2(1)$，故 $a = \frac{1}{20}$。
步骤 2：计算 $X_3 + X_4 + X_5$ 的方差
由于 $X_3, X_4, X_5$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_3, X_4, X_5$ 的方差均为 $4$。因此，$X_3 + X_4 + X_5$ 的方差为 $Var(X_3 + X_4 + X_5) = Var(X_3) + Var(X_4) + Var(X_5) = 4 \times 3 = 12$。标准化后，$\frac{(X_3 + X_4 + X_5)^2}{12} \sim \chi^2(1)$，故 $b = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算 $X_6 + X_7 + X_8 + X_9$ 的方差
由于 $X_6, X_7, X_8, X_9$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的简单随机样本，所以 $X_6, X_7, X_8, X_9$ 的方差均为 $4$。因此，$X_6 + X_7 + X_8 + X_9$ 的方差为 $Var(X_6 + X_7 + X_8 + X_9) = Var(X_6) + Var(X_7) + Var(X_8) + Var(X_9) = 4 \times 4 = 16$。标准化后，$\frac{(X_6 + X_7 + X_8 + X_9)^2}{16} \sim \chi^2(1)$，故 $c = \frac{1}{16}$。