反正弦函数 =arcsin x的定义域和值域A ( -1 , 1 )和=arcsin xB ( -1 , 1 ) 和 [ =arcsin x ] C [ -1 , 1 ] 和 [ =arcsin x ] D [ -1 , 1 ]和=arcsin x

考查要点：本题主要考查反正弦函数（$y = \arcsin x$）的定义域和值域的基本性质。

解题核心思路：

1. 定义域：由正弦函数的值域决定，即$x \in [-1, 1]$。
2. 值域：由正弦函数被限制在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$区间后对应的反函数值域决定，即$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

破题关键点：

• 定义域是否包含端点：正弦函数在$x = \pm 1$时有定义，因此定义域为闭区间$[-1, 1]$。
• 值域是否包含端点：反函数在$y = \pm \frac{\pi}{2}$时有定义，因此值域为闭区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

选项分析

• 选项A：定义域为开区间$(-1, 1)$，错误（应包含端点$\pm 1$）；值域为开区间$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，错误（应包含端点$\pm \frac{\pi}{2}$）。
• 选项B：定义域为开区间$(-1, 1)$，错误；值域为闭区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，正确。
• 选项C：定义域为闭区间$[-1, 1]$，正确；值域为闭区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，正确。
• 选项D：定义域为闭区间$[-1, 1]$，正确；值域为开区间$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，错误。

结论：唯一同时满足定义域和值域均正确的选项是C。