求指导本题解题过程，谢谢您！某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为100克。现从某天生产的一-|||-批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查,测得每包重量如下:-|||-每包重量 包数-|||-sim 98 2-|||-sim 100 3-|||-sim 102 34-|||-sim 104 7-|||-sim 106 4-|||-合计 50-|||-已知食品每包的重量服从正态分布,要求:-|||-确定该种食品平均重量95%的置信区间。-|||-如果规定食品重量低于100克属于不合格,确定该批食品合格率95%的置信区间。

考查要点：本题主要考查均值的置信区间和比例的置信区间的计算方法，需要结合分组数据处理和正态分布的性质。

解题思路：

1. 均值的置信区间：由于总体服从正态分布且样本量较大（n=50），使用z分布计算。需先计算样本均值和样本标准差，再代入公式求解。
2. 合格率的置信区间：合格率是比例问题，需计算样本比例，再利用正态近似法（大样本条件下）求解置信区间。

关键点：

• 分组数据处理：用各组中点代表数据值计算均值和方差。
• 临界值选择：95%置信水平对应z值为1.96。
• 公式应用：均值和比例的置信区间公式需准确代入参数。

1. 平均重量的置信区间

计算样本均值

各组中点与频数对应：

• $96 \sim 98$：中点$97$，频数$2$
• $98 \sim 100$：中点$99$，频数$3$
• $100 \sim 102$：中点$101$，频数$34$
• $102 \sim 104$：中点$103$，频数$7$
• $104 \sim 106$：中点$105$，频数$4$

样本均值：
$\bar{x} = \frac{97 \times 2 + 99 \times 3 + 101 \times 34 + 103 \times 7 + 105 \times 4}{50} = \frac{5066}{50} = 101.32 \text{克}$

计算样本标准差

各组中点与均值的差的平方乘以频数：

• $(97-101.32)^2 \times 2 = 37.3248$
• $(99-101.32)^2 \times 3 = 16.1472$
• $(101-101.32)^2 \times 34 = 3.4816$
• $(103-101.32)^2 \times 7 = 19.7568$
• $(105-101.32)^2 \times 4 = 54.1696$

样本方差：
$s^2 = \frac{37.3248 + 16.1472 + 3.4816 + 19.7568 + 54.1696}{49} = \frac{130.88}{49} \approx 2.671$
样本标准差：
$s = \sqrt{2.671} \approx 1.634$

计算置信区间

标准误：
$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.634}{\sqrt{50}} \approx 0.231$
置信区间：
$101.32 \pm 1.96 \times 0.231 \implies (100.87, 101.77)$

2. 合格率的置信区间

计算样本比例

合格数（重量$\geq 100$克）：$34 + 7 + 4 = 45$
样本比例：
$p = \frac{45}{50} = 0.9$

计算置信区间

标准误：
$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.9 \times 0.1}{50}} \approx 0.0424$
置信区间：
$0.9 \pm 1.96 \times 0.0424 \implies (0.817, 0.983) \implies (81.7\%, 98.3\%)$