第2章 线性回归模型的基本思想与最小二乘法2.1 总体回归函数(PRF)与样本回归函数(SRF)有何区别?答:总体回归函数和样本回归函数的区别是:总体回归函数准确地描述了某种状态下或某个范围内变量之间客观存在的关系,但一般是未知的,而样本回归函数是对总体回归函数的近似,是利用样本数据计算得到的。2.2 拟合优度[1]的含义是什么?答:拟合优度是回归直线对观测值的拟合程度,它的直观含义是因变量的变动能被自变量解释的比例。其定义是,。的值越接近1,说明回归直线对观测值的拟合程度越好,反之,的值越接近0,说明回归直线对观测值的拟合程度越差。2.3 误差与残差有何区别?答:残差指真实值与由样本回归函数所得的估计值的差,而误差是真实值与由总体回归函数所得的估计值的差。2.4 以下是某城市10个市场苹果需求()和价格()的数据:(1)计算。(2)假设(y)^2, ∑x^2,∑xy,计算系数的OLS估计量。(3)做出散点图和样本回归线(利用统计软件)。(4)估计苹果在本均值点的需求弹性()。答:(1)(y)^2, ∑x^2,∑xy(y)^2, ∑x^2,∑xy(y)^2, ∑x^2,∑xy(y)^2, ∑x^2,∑xy(y)^2, ∑x^2,∑xy这个数值有误,答案是 -143.6(2)(y)^2, ∑x^2,∑xy 有误,答案为 -5.203(y)^2, ∑x^2,∑xy 有误,答案为203.21(3)散点图和样本回归线如下图所示:(4) 答案应为-1.628也就是说当价格变动1时,需求将反向变动1.997。2.5 DATA1-1给出了中国2011年各省市GDP((y)^2, ∑x^2,∑xy)和投资()的数据。利用统计软件(Eviews或Stata)回答以下问题:(1)做散点图,观察投资对GDP的影响。(2)估计回归方程(y)^2, ∑x^2,∑xy。(3)你如何解释斜率系数的含义?答:(1)散点图如下:(2)以下是用eviews6.0输出的结果,可知:,即为所要求的估计回归方程。(3)斜率系数是指当投资变动1单位时,GDP将变动1.832478单位。另外,,这表明投资对GDP有正相关关系。而,表明投资的小幅度变动,将引起GDP更大幅度的变动,也就是说投资变动将引起较大的GDP变动。2.6 DATA2-2给出了美国1996-2006年GDP((y)^2, ∑x^2,∑xy)与城市失业率()的数据。利用统计软件回答以下问题:(1)估计(y)^2, ∑x^2,∑xy的变动(失业率增量:百分数)对(y)^2, ∑x^2,∑xy的变化率(经济增长率:百分数)的回归方程。(2)提取自变量的系数,你有什么发现?提示:研究奥肯定律。奥肯定律是指:经济增长超过潜在的经济增长水平的增量每提升一定幅度时,失业率将下降一个百分点。 答:(1)根据eviews6.0输出结果得到估计方程为:(y)^2, ∑x^2,∑xy(2)由(1)中所求的方程可以知道斜率,可知当GDP变动1个百分点时,失业率将反向变动0.0373个百分点。这很符合奥肯定律。 2.7 假设一元回归方程中的截距项为零,即,利用最小二乘法的思想计算斜率系数的估计量。计算及其估计量。答:(y)^2, ∑x^2,∑xy,残差平方和,两边对求导数,并令其为零:(y)^2, ∑x^2,∑xy,求得(y)^2, ∑x^2,∑xy从而(y)^2, ∑x^2,∑xy2.8 证明:因变量(y)^2, ∑x^2,∑xy对自变量(y)^2, ∑x^2,∑xy回归的拟合优度等于和的(样本)相关系数的平方,即,其中是和的(样本)相关系数。答:证明:(y)^2, ∑x^2,∑xy2.9 采用正文中的记号,试证明:(y)^2, ∑x^2,∑xy