将下列其他进制数转换为十进制[1]数。(1) (10110)_2(2) (1011.11)_2(3) (471)_8(4) (132.4)_8(5) (5A)_(16)(6) (1F.B)_(16)
将下列其他进制数转换为十进制[1]数。 (1) $(10110)_2$ (2) $(1011.11)_2$ (3) $(471)_8$ (4) $(132.4)_8$ (5) $(5A)_{16}$ (6) $(1F.B)_{16}$
题目解答
答案
我们来逐个将题目中给出的各进制数转换为十进制数。转换的基本原理是：按权展开法，即每一位上的数字乘以该位对应的权值（进制的幂次），然后相加。
（1）$(10110)_2$（二进制[2]转十进制）
二进制是从右往左，每一位的权是 $2^0, 2^1, 2^2, \ldots$
从右到左，各位分别是：
$1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 1\cdot16 + 0\cdot8 + 1\cdot4 + 1\cdot2 + 0\cdot1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22$
答案： $\boxed{22}$
（2）$(1011.11)_2$（带小数的二进制转十进制）
整数部分：$1011_2$，小数部分：$.11_2$
整数部分：
$1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
小数部分：
$1\cdot2^{-1} + 1\cdot2^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0.5 + 0.25 = 0.75$
合计： $11 + 0.75 = \boxed{11.75}$
（3）$(471)_8$（八进制[3]转十进制）
八进制每一位的权是 $8^0, 8^1, 8^2, \ldots$
从右到左：
$4\cdot8^2 + 7\cdot8^1 + 1\cdot8^0 = 4\cdot64 + 7\cdot8 + 1\cdot1 = 256 + 56 + 1 = \boxed{313}$
（4）$(132.4)_8$（带小数的八进制转十进制）
整数部分： $132_8$
$1\cdot8^2 + 3\cdot8^1 + 2\cdot8^0 = 1\cdot64 + 3\cdot8 + 2\cdot1 = 64 + 24 + 2 = 90$
小数部分： $.4_8$
$4\cdot8^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{8} = 0.5$
合计： $90 + 0.5 = \boxed{90.5}$
（5）$(5A)_{16}$（十六进制[4]转十进制）
十六进制中，A 表示 10。
从右到左：
$5\cdot16^1 + A\cdot16^0 = 5\cdot16 + 10\cdot1 = 80 + 10 = \boxed{90}$
（6）$(1F.B)_{16}$（带小数的十六进制转十进制）
F 表示 15，B 表示 11。
整数部分： $1F_{16}$
$1\cdot16^1 + F\cdot16^0 = 1\cdot16 + 15\cdot1 = 16 + 15 = 31$
小数部分： $.B_{16}$
$B\cdot16^{-1} = 11 \cdot \frac{1}{16} = \frac{11}{16} = 0.6875$
合计： $31 + 0.6875 = \boxed{31.6875}$
最终答案汇总：
（1）$(10110)_2 = \boxed{22}$
（2）$(1011.11)_2 = \boxed{11.75}$
（3）$(471)_8 = \boxed{313}$
（4）$(132.4)_8 = \boxed{90.5}$
（5）$(5A)_{16} = \boxed{90}$
（6）$(1F.B)_{16} = \boxed{31.6875}$
解析
考查要点：本题主要考查不同进制数（二进制、八进制、十六进制）转换为十进制数的能力，需掌握按权展开法的核心思路。
解题核心：
- 权值计算：根据进制确定每一位的权值（如二进制权值为$2^n$，八进制为$8^n$，十六进制为$16^n$）。
- 整数与小数部分处理：整数部分从右往左依次为$2^0, 2^1, \ldots$，小数部分从左往右为$2^{-1}, 2^{-2}, \ldots$。
- 字母处理：十六进制中字母A-F对应十进制的10-15。
第（1）题：$(10110)_2$
按权展开计算
从右往左，各位权值为$2^0$到$2^4$：
$\begin{aligned}1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 &= 16 + 0 + 4 + 2 + 0 \\&= 22\end{aligned}$
第（2）题：$(1011.11)_2$
整数部分
$1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
小数部分
$1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0.5 + 0.25 = 0.75$
合计
$11 + 0.75 = 11.75$
第（3）题：$(471)_8$
按权展开计算
$\begin{aligned}4 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 &= 4 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \\&= 256 + 56 + 1 \\&= 313\end{aligned}$
第（4）题：$(132.4)_8$
整数部分
$1 \cdot 8^2 + 3 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 64 + 24 + 2 = 90$
小数部分
$4 \cdot 8^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{8} = 0.5$
合计
$90 + 0.5 = 90.5$
第（5）题：$(5A)_{16}$
字母转换
十六进制中，$A = 10$。
按权展开计算
$5 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 80 + 10 = 90$
第（6）题：$(1F.B)_{16}$
字母转换
十六进制中，$F = 15$，$B = 11$。
整数部分
$1 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 16 + 15 = 31$
小数部分
$11 \cdot 16^{-1} = 11 \cdot \frac{1}{16} = 0.6875$
合计
$31 + 0.6875 = 31.6875$