11.设x_(1),x_(2),...,x_(n)是从某总体随机抽取的样本，overline(x)为其样本均值，证明：对任意实数c，有sum_(i=1)^n(x_(i)-c)^2geqsum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x))^2并指出其中等式成立的条件。

考查要点：本题主要考查平方和的最小值性质，即在统计学中，样本均值使平方偏差和达到最小。关键在于理解如何通过代数变形比较不同常数$c$对应的平方和大小。

解题核心思路：通过展开平方项并整理表达式，将问题转化为比较两个平方和的差值。利用样本均值的性质（$\sum x_i = n\overline{x}$），将差值化简为完全平方形式，从而直接判断非负性。

破题关键点：

1. 展开平方项，分别写出左边和右边的表达式。
2. 相减并化简，利用代数技巧将差值表示为$n(c - \overline{x})^2$。
3. 分析非负性，得出等号成立的条件。

步骤1：展开左边平方和
左边表达式为：
$\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^2 - 2c x_i + c^2 \right) = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2c \sum_{i=1}^{n}x_i + n c^2$
由于$\sum_{i=1}^{n}x_i = n\overline{x}$，代入得：
$\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2c n\overline{x} + n c^2$

步骤2：展开右边平方和
右边表达式为：
$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^2 - 2\overline{x}x_i + \overline{x}^2 \right) = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\overline{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + n\overline{x}^2$
同样利用$\sum_{i=1}^{n}x_i = n\overline{x}$，化简得：
$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\overline{x}^2$

步骤3：计算左右两边的差值
将左边减去右边：
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2 - \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 &= \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2c n\overline{x} + n c^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\overline{x}^2 \right) \\&= -2c n\overline{x} + n c^2 + n\overline{x}^2 \\&= n(c^2 - 2c\overline{x} + \overline{x}^2) \\&= n(c - \overline{x})^2\end{aligned}$

步骤4：分析差值的非负性
由于$n(c - \overline{x})^2 \geq 0$对任意实数$c$成立，因此：
$\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2 \geq \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
等号成立当且仅当 $c = \overline{x}$。