题目
在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初值-|||-条件:-|||-(1) ^2-(y)^2=C |x=0=5;-|||-(2) =((C)_(1)+(C)_(2)x)(e)^2x, |x=0=0,y'|=0=1;-|||-(3) =(C)_(1)sin (x-(C)_(2)) |x=pi =1, '|x=pi =0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定参数C
将 $x=0$ 和 $y=5$ 代入 ${x}^{2}-{y}^{2}=C$ 中，得到 $0-25=C$，即 $C=-25$。
步骤 2：确定参数 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$
由 $y=({C}_{1}+{C}_{2}x){e}^{2x}$，得 $y'=({C}_{2}+2{C}_{1}+2{C}_{2}x){e}^{2x}$。将 $x=0$，$y=0$ 及 $y'=1$ 代入以上两式，得到 $\left \{ \begin{matrix} 0={C}_{1},\\ 1={C}_{2}+2{C}_{1}\end{matrix} \right.$，解得 ${C}_{1}=0$，${C}_{2}=1$。
步骤 3：确定参数 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$
由 $y={C}_{1}\sin (x-{C}_{2})$，得 $y'={C}_{1}\cos (x-{C}_{2})$。将 $x=\pi$，$y=1$ 及 $y'=0$ 代入以上两式，得到 $\left \{ \begin{matrix} 1={C}_{1}\sin (\pi -{C}_{2})={C}_{1}\sin {C}_{2},\\ 0={C}_{1}\cos (\pi -{C}_{2})=-{C}_{1}\cos {C}_{2}\end{matrix} \right.$，解得 ${C}_{1}^{2}=1$，不妨取 ${C}_{1}=1$，由 $\left \{ \begin{matrix} 1={C}_{1}\sin {C}_{2},\\ 0=-{C}_{1}\cos {C}_{2}\end{matrix} \right.$ 得 ${C}_{2}=2k\pi +\dfrac {\pi }{2}$，故 $y=\sin (x-2k\pi -\dfrac {\pi }{2})=-\cos x$。
将 $x=0$ 和 $y=5$ 代入 ${x}^{2}-{y}^{2}=C$ 中，得到 $0-25=C$，即 $C=-25$。
步骤 2：确定参数 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$
由 $y=({C}_{1}+{C}_{2}x){e}^{2x}$，得 $y'=({C}_{2}+2{C}_{1}+2{C}_{2}x){e}^{2x}$。将 $x=0$，$y=0$ 及 $y'=1$ 代入以上两式，得到 $\left \{ \begin{matrix} 0={C}_{1},\\ 1={C}_{2}+2{C}_{1}\end{matrix} \right.$，解得 ${C}_{1}=0$，${C}_{2}=1$。
步骤 3：确定参数 ${C}_{1}$ 和 ${C}_{2}$
由 $y={C}_{1}\sin (x-{C}_{2})$，得 $y'={C}_{1}\cos (x-{C}_{2})$。将 $x=\pi$，$y=1$ 及 $y'=0$ 代入以上两式，得到 $\left \{ \begin{matrix} 1={C}_{1}\sin (\pi -{C}_{2})={C}_{1}\sin {C}_{2},\\ 0={C}_{1}\cos (\pi -{C}_{2})=-{C}_{1}\cos {C}_{2}\end{matrix} \right.$，解得 ${C}_{1}^{2}=1$，不妨取 ${C}_{1}=1$，由 $\left \{ \begin{matrix} 1={C}_{1}\sin {C}_{2},\\ 0=-{C}_{1}\cos {C}_{2}\end{matrix} \right.$ 得 ${C}_{2}=2k\pi +\dfrac {\pi }{2}$，故 $y=\sin (x-2k\pi -\dfrac {\pi }{2})=-\cos x$。