在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初值-|||-条件:-|||-(1) ^2-(y)^2=C |x=0=5;-|||-(2) =((C)_(1)+(C)_(2)x)(e)^2x, |x=0=0,y'|=0=1;-|||-(3) =(C)_(1)sin (x-(C)_(2)) |x=pi =1, '|x=pi =0.

考查要点：本题主要考查如何根据给定的初值条件确定函数中的参数，涉及代入法、求导法以及三角函数方程的求解。

解题思路：

1. 代入法：直接将初值条件代入函数表达式，解出参数。
2. 求导法：对函数求导后，结合初值条件建立方程组求解参数。
3. 三角恒等式：利用三角函数的恒等变形简化方程，注意多解情况的讨论。

关键点：

• 第（1）题：直接代入初值条件即可求出常数。
• 第（2）题：需对函数求导，结合两个初值条件联立方程。
• 第（3）题：通过代入和求导得到方程组，利用三角恒等式消元求解。

第（1）题

初值条件：当 $x=0$ 时，$y=5$。

代入求常数

将 $x=0$，$y=5$ 代入方程 $x^2 - y^2 = C$：
$0^2 - 5^2 = C \implies C = -25.$

结论：函数关系式为 $x^2 - y^2 = -25$。

第（2）题

初值条件：当 $x=0$ 时，$y=0$；当 $x=0$ 时，$y'=1$。

代入初值条件求 $C_1$

将 $x=0$，$y=0$ 代入 $y=(C_1 + C_2 x)e^{2x}$：
$0 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} \implies C_1 = 0.$

求导并代入初值条件求 $C_2$

对函数求导：
$y' = (C_2 + 2C_1 + 2C_2 x)e^{2x}.$
将 $x=0$，$y'=1$ 代入：
$1 = (C_2 + 2C_1)e^{0} \implies C_2 = 1.$

结论：函数关系式为 $y = x e^{2x}$。

第（3）题

初值条件：当 $x=\pi$ 时，$y=1$；当 $x=\pi$ 时，$y'=0$。

代入初值条件

将 $x=\pi$，$y=1$ 代入 $y = C_1 \sin(x - C_2)$：
$1 = C_1 \sin(\pi - C_2) \implies 1 = C_1 \sin C_2. \quad (1)$

求导并代入初值条件

对函数求导：
$y' = C_1 \cos(x - C_2).$
将 $x=\pi$，$y'=0$ 代入：
$0 = C_1 \cos(\pi - C_2) \implies 0 = -C_1 \cos C_2 \implies \cos C_2 = 0. \quad (2)$

联立方程求解

由方程 $(2)$ 得 $C_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）。代入方程 $(1)$：
$1 = C_1 \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) \implies C_1 = \pm 1.$
取 $C_1 = 1$，$C_2 = \frac{\pi}{2}$，则：
$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x.$

结论：函数关系式为 $y = -\cos x$。