21.单选题(4分)设[beta_(1)beta_(2)beta_(3)]=[alpha_(1)alpha_(2)alpha_(3)]}-2&1&11&-2&11&1&-2线性表出

本题考查向量组的线性表示、等价以及向量组秩的相关知识。解题的关键在于根据已知的矩阵等式分析向量组之间的线性关系，通过判断矩阵的可逆性来进一步确定向量组的等价性和秩的情况。

1. 分析向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$与向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$的线性表示关系：
   已知$[\beta_{1}\beta_{2}\beta_{3}]=[\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}]\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}$，根据矩阵乘法的定义，这表明$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表出，且表示的系数矩阵为$\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}$。所以选项B正确。
2. 判断向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$是否等价：
   要判断两个向量组是否等价，需要看它们是否能相互线性表出。虽然已知$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$可由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表出，但还需判断$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是否可由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$线性表出，这就需要判断系数矩阵$\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}$是否可逆。
   计算该矩阵的行列式$\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{vmatrix}$：
   $\begin{align*}&\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{vmatrix}\\=& -2\times\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&-2\\1&1\end{vmatrix}\\=& -2\times((-2)\times(-2)-1\times1)-1\times(1\times(-2)-1\times1)+1\times(1\times1-1\times(-2))\\=& -2\times(4 - 1)-1\times(-2 - 1)+1\times(1 + 2)\\=& -2\times3 - 1\times(-3)+1\times3\\=& -6 + 3 + 3\\=& 0\end{align*}$
   由于行列式的值为$0$，所以该矩阵不可逆，即$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$不一定能由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$线性表出，那么向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$和向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$不一定等价，选项A错误。
3. 判断向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$的秩：
   因为矩阵$\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}$不可逆，其秩小于$3$。根据矩阵秩的性质，$r([\beta_{1}\beta_{2}\beta_{3}])\leq r([\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}]\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix})\leq\min\{r([\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}]),r(\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix})\}$，所以向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$的秩小于$3$，选项C错误。
4. 判断向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是否可由向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$线性表出：
   由前面分析可知系数矩阵不可逆，所以$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$不一定能由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$线性表出，选项D错误。