题目
6.设随机变量 _(i)(i=1,2,... ) 相互独立,具有同一分布, ((X)_(i))=0, ((X)_(i))=(sigma )^2,i=1,2,... ,,-|||-则当n很大时, sum _(i=1)^n(X)_(i) 的近似分布是 () .-|||-(A)N(0 no^2) (B)N(0,σ^2) (C) (0,dfrac ({sigma )^2}(n)) (D) (0,dfrac ({sigma )^2}({n)^2})
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
已知随机变量 ${X}_{i}(i=1,2,\cdots )$ 相互独立,具有同一分布, $E({X}_{i})=0$ $D({X}_{i})={\sigma }^{2},i=1,2,\cdots $, 这意味着每个随机变量的期望为0，方差为$\sigma^2$。
步骤 2：计算和的期望和方差
由于随机变量相互独立，和的期望等于期望的和，和的方差等于方差的和。因此，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的期望为 $E(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}) = \sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}) = 0$，方差为 $D(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}) = \sum _{i=1}^{n}D({X}_{i}) = n\sigma^2$。
步骤 3：应用中心极限定理
当n很大时，根据中心极限定理，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布近似于正态分布，即 $N(0,n\sigma^2)$。
已知随机变量 ${X}_{i}(i=1,2,\cdots )$ 相互独立,具有同一分布, $E({X}_{i})=0$ $D({X}_{i})={\sigma }^{2},i=1,2,\cdots $, 这意味着每个随机变量的期望为0，方差为$\sigma^2$。
步骤 2：计算和的期望和方差
由于随机变量相互独立，和的期望等于期望的和，和的方差等于方差的和。因此，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的期望为 $E(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}) = \sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}) = 0$，方差为 $D(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}) = \sum _{i=1}^{n}D({X}_{i}) = n\sigma^2$。
步骤 3：应用中心极限定理
当n很大时，根据中心极限定理，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布近似于正态分布，即 $N(0,n\sigma^2)$。