题目
设某种珠子的直径服从正态分布N( μ ,0.08²),其中μ未知.现从某天的产品中随机抽取一个样本_(1),(X)_(2),... ,(X)_(9),测得_(1),(X)_(2),... ,(X)_(9)=15.0,求μ的置信度为0.95的置信区间。(已知:_(1),(X)_(2),... ,(X)_(9) .)
设某种珠子的直径服从正态分布N( μ ,0.08²),其中μ未知.现从某天的产品中随机抽取一个样本
,测得
=15.0,求μ的置信度为0.95的置信区间。(已知:
.)
题目解答
答案
首先，根据题目，珠子的直径服从正态分布N(μ, 0.08²)，其中μ未知，方差已知为0.08²。
从某天的产品中随机抽取一个样本,，测得样本均值= 15.0。
样本标准差s在这里并未直接给出，但由于方差已知为0.08²，且样本量n=9较大，可以使用总体标准差σ = 0.08来近似样本标准差。
接下来，构造μ的置信度为0.95的置信区间。
置信区间的一般形式为：
其中，α = 1 - 0.95 = 0.05，所以
（根据题目给出的$z$值）。
将已知的=15.0,σ= 0.08，n = 9，以及
= 1.96代入置信区间的公式，得到：
=[ 15.0 - 0.0523, 15.0 + 0.0523 ]
=[ 14.9477, 15.0523]
故μ的置信度为0.95的置信区间为[ 14.9477, 15.0523]
解析
步骤 1：确定已知条件
题目中给出珠子的直径服从正态分布N(μ, 0.08²)，其中μ未知，方差已知为0.08²。从某天的产品中随机抽取一个样本X1,X2,···,Y9,测得样本均值18=15.0。样本量n=9，置信度为0.95。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
置信区间的一般形式为：$[\overline{x} - z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
其中，$\overline{x}$为样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的分位数，$\sigma$为总体标准差，n为样本量。
步骤 3：代入已知条件计算置信区间
根据题目给出的条件，$\overline{x} = 15.0$，$\sigma = 0.08$，n = 9，置信度为0.95，所以$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96$。
代入公式计算得到置信区间为：$[15.0 - 1.96 \times \frac{0.08}{\sqrt{9}}, 15.0 + 1.96 \times \frac{0.08}{\sqrt{9}}]$
计算得到：$[15.0 - 0.0523, 15.0 + 0.0523]$
计算得到：$[14.9477, 15.0523]$
题目中给出珠子的直径服从正态分布N(μ, 0.08²)，其中μ未知，方差已知为0.08²。从某天的产品中随机抽取一个样本X1,X2,···,Y9,测得样本均值18=15.0。样本量n=9，置信度为0.95。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
置信区间的一般形式为：$[\overline{x} - z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
其中，$\overline{x}$为样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的分位数，$\sigma$为总体标准差，n为样本量。
步骤 3：代入已知条件计算置信区间
根据题目给出的条件，$\overline{x} = 15.0$，$\sigma = 0.08$，n = 9，置信度为0.95，所以$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96$。
代入公式计算得到置信区间为：$[15.0 - 1.96 \times \frac{0.08}{\sqrt{9}}, 15.0 + 1.96 \times \frac{0.08}{\sqrt{9}}]$
计算得到：$[15.0 - 0.0523, 15.0 + 0.0523]$
计算得到：$[14.9477, 15.0523]$