9.计算以下数据的四分位差:10,12,15,18,20,22,25,30,35。
题目解答
答案
要计算数据集 $10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 30, 35$ 的四分位差，我们需要遵循以下步骤： 1. 确定第一四分位数（Q1）和第三四分位数（Q3）： - 第一四分位数（Q1）是数据集的下四分位数，即数据集的前半部分的中位数。 - 第三四分位数（Q3）是数据集的上四分位数，即数据集的后半部分的中位数。 2. 将数据集按升序排列： 数据集已经按升序排列：$10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 30, 35$。 3. 找到中位数（Q2）： 由于数据集中有9个数字，中位数是第5个数字。 $\text{中位数} = 20$ 4. 找到第一四分位数（Q1）： Q1是数据集前半部分的中位数，即 $10, 12, 15, 18, 20$。由于中位数20包含在前半部分，我们只考虑前4个数字： $10, 12, 15, 18$。 前4个数字的中位数是第2个和第3个数字的平均值。 $Q1 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$ 5. 找到第三四分位数（Q3）： Q3是数据集后半部分的中位数，即 $20, 22, 25, 30, 35$。由于中位数20包含在后半部分，我们只考虑后4个数字： $22, 25, 30, 35$。 后4个数字的中位数是第2个和第3个数字的平均值。 $Q3 = \frac{25 + 30}{2} = 27.5$ 6. 计算四分位差： 四分位差是Q3和Q1之间的差。 $\text{四分位差} = Q3 - Q1 = 27.5 - 13.5 = 14$ 因此，数据集的四分位差是 $\boxed{14}$。
解析
本题考查四分位差的计算，解题思路是先明确四分位差的定义，即第三四分位数（Q3）与第一四分位数（Q1）的差值，然后按照步骤分别求出Q1和Q3，最后计算它们的差值得到四分位差。
- 确定数据集：给定数据集为$10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 30, 35$，该数据集已经按升序排列。
- 计算中位数（Q2）：
- 因为数据集中有$n = 9$个数字，根据中位数位置公式$\text{中位数位置}=\frac{n + 1}{2}$，可得中位数位置为$\frac{9 + 1}{2}=5$。
- 所以中位数$Q2$是第$5$个数字，即$Q2 = 20$。
- 计算第一四分位数（Q1）：
- Q1是数据集前半部分的中位数，数据集前半部分为$10, 12, 15, 18, 20$，由于中位数$20$包含在前半部分，我们只考虑前$4$个数字$10, 12, 15, 18$。
- 对于这$4$个数字，中位数是第$2$个和第$3$个数字的平均值，根据公式$Q1=\frac{\text{第}2\text{个数字}+\text{第}3\text{个数字}}{2}$，可得$Q1=\frac{12 + 15}{2}=\frac{27}{2}=13.5$。
- 计算第三四分位数（Q3）：
- Q3是数据集后半部分的中位数，数据集后半部分为$20, 22, 25, 30, 35$，由于中位数$20$包含在后半部分，我们只考虑后$4$个数字$22, 25, 30, 35$。
- 对于这$4$个数字，中位数是第$2$个和第$3$个数字的平均值，根据公式$Q3=\frac{\text{第}2\text{个数字}+\text{第}3\text{个数字}}{2}$，可得$Q3=\frac{25 + 30}{2}=\frac{55}{2}=27.5$。
- 计算四分位差：
- 根据四分位差的定义，四分位差$=\text{Q3}-\text{Q1}$，将$Q1 = 13.5$，$Q3 = 27.5$代入可得，四分位差$=27.5 - 13.5 = 14$。