题目
已知随机变量sim N(2,4),sim N(2,4),则sim N(2,4)A.0.5228B.0.9772C.0.5D.0.2367
已知随机变量
,
,则
A.0.5228
B.0.9772
C.0.5
D.0.2367
题目解答
答案
∵随机变量
∴
∵,
∴
选项A正确
解析
步骤 1：标准化随机变量
由于$X\sim N(2,4)$，即$X$服从均值为2，方差为4的正态分布。为了使用标准正态分布表，我们需要将$X$标准化。标准化后的随机变量$Z$定义为$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。因此，$Z=\dfrac{X-2}{2}$，且$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算$P(|X|\gt 2)$
$P(|X|\gt 2)$可以转化为$P(X\gt 2)$和$P(X\lt -2)$的和，因为$|X|\gt 2$意味着$X$要么大于2，要么小于-2。因此，$P(|X|\gt 2)=P(X\gt 2)+P(X\lt -2)$。由于$X\sim N(2,4)$，$P(X\gt 2)$等于$P(Z\gt 0)$，而$P(X\lt -2)$等于$P(Z\lt -2)$。由于$Z\sim N(0,1)$，$P(Z\gt 0)=0.5$，$P(Z\lt -2)=1-P(Z\lt 2)$。已知$(2)=0.9772$，所以$P(Z\lt -2)=1-0.9772=0.0228$。
步骤 3：计算最终概率
$P(|X|\gt 2)=P(X\gt 2)+P(X\lt -2)=0.5+0.0228=0.5228$。
由于$X\sim N(2,4)$，即$X$服从均值为2，方差为4的正态分布。为了使用标准正态分布表，我们需要将$X$标准化。标准化后的随机变量$Z$定义为$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。因此，$Z=\dfrac{X-2}{2}$，且$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算$P(|X|\gt 2)$
$P(|X|\gt 2)$可以转化为$P(X\gt 2)$和$P(X\lt -2)$的和，因为$|X|\gt 2$意味着$X$要么大于2，要么小于-2。因此，$P(|X|\gt 2)=P(X\gt 2)+P(X\lt -2)$。由于$X\sim N(2,4)$，$P(X\gt 2)$等于$P(Z\gt 0)$，而$P(X\lt -2)$等于$P(Z\lt -2)$。由于$Z\sim N(0,1)$，$P(Z\gt 0)=0.5$，$P(Z\lt -2)=1-P(Z\lt 2)$。已知$(2)=0.9772$，所以$P(Z\lt -2)=1-0.9772=0.0228$。
步骤 3：计算最终概率
$P(|X|\gt 2)=P(X\gt 2)+P(X\lt -2)=0.5+0.0228=0.5228$。