已知 z = (sqrt(2))/(2)(1 - i)，则 z^100 + z^50 + 1 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i

我们来一步步解这道题：

已知：
$z = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i)$

要求计算：
$z^{100} + z^{50} + 1$

第一步：将 $ z $ 化为三角形式（极坐标形式）

我们先计算 $ z $ 的模和辐角。

1. 模长 $ |z| $

$|z| = \left| \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i) \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot |1 - i|$

而 $ |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $

所以：
$|z| = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{2} = 1$

所以 $ z $ 是单位复数，模为 1。

2. 辐角 $ \theta $

$ z = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i $

这是一个实部为正、虚部为负的复数，位于第四象限。

它的辐角 $ \theta $ 满足：
$\tan \theta = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

所以 $ \theta = -\frac{\pi}{4} $（或等价于 $ \frac{7\pi}{4} $）

因此，可以写成：
$z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = e^{-i\pi/4}$

第二步：计算 $ z^{100} $ 和 $ z^{50} $

由于 $ z = e^{-i\pi/4} $，所以：

$z^{100} = \left(e^{-i\pi/4}\right)^{100} = e^{-i \cdot 100 \cdot \pi / 4} = e^{-i \cdot 25\pi}$

$z^{50} = \left(e^{-i\pi/4}\right)^{50} = e^{-i \cdot 50 \cdot \pi / 4} = e^{-i \cdot 12.5\pi} = e^{-i \cdot \frac{25\pi}{2}}$

我们来化简这两个指数。

化简 $ z^{100} = e^{-i \cdot 25\pi} $

注意：$ e^{-i\theta} $ 是周期为 $ 2\pi $ 的函数。

$25\pi = 12 \cdot 2\pi + \pi \quad \text{（因为 } 2\pi \times 12 = 24\pi\text{）}$

所以：
$e^{-i \cdot 25\pi} = e^{-i(24\pi + \pi)} = e^{-i\pi} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = \cos\pi - i\sin\pi = -1 - 0i = -1$

所以：
$z^{100} = -1$

化简 $ z^{50} = e^{-i \cdot \frac{25\pi}{2}} $

我们把角度对 $ 2\pi $ 取模：

$\frac{25\pi}{2} = 12\pi + \frac{\pi}{2} \quad \text{（因为 } 12\pi = \frac{24\pi}{2} \text{）}$

所以：
$e^{-i \cdot \frac{25\pi}{2}} = e^{-i(12\pi + \pi/2)} = e^{-i \cdot 12\pi} \cdot e^{-i\pi/2}$

而 $ e^{-i \cdot 12\pi} = (e^{-i2\pi})^6 = 1^6 = 1 $

$e^{-i\pi/2} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$

所以：
$z^{50} = -i$

第三步：计算 $ z^{100} + z^{50} + 1 $

代入：
$z^{100} + z^{50} + 1 = (-1) + (-i) + 1 = (-1 + 1) - i = 0 - i = -i$

最终答案：

$\boxed{D. -i}$

✅ 答案是：D. -i