7.9 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表:-|||-来自总体1的样本 来自总体2的样本-|||-(overline {x)}_(1)=25 _(2)=23-|||-_(1)^2=16 _(2)^2=20-|||-(5)设 _(1)=10 _(1)=20 ,,σ1^2≠c2^2, 求 (mu )_(1)-(mu )_(2) 的95%的置信区间o

考查要点：本题主要考查两个独立正态总体均值差的置信区间估计，重点在于方差不相等时的处理方法。
解题思路：

1. 确定检验方法：由于总体方差不相等且未知，采用分离方差t检验（Welch's t-test）。
2. 计算标准误：结合两个样本方差分别除以样本量后求和的平方根。
3. 自由度计算：使用Satterthwaite近似公式估算有效自由度。
4. 确定临界值：根据自由度和置信水平查t分布表。
5. 构造置信区间：利用点估计值、标准误和临界值计算区间范围。

步骤1：计算样本均值之差

点估计值为：
$\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 25 - 23 = 2$

步骤2：计算标准误

标准误公式为：
$SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{16}{10} + \frac{20}{20}} = \sqrt{1.6 + 1} = \sqrt{2.6} \approx 1.612$

步骤3：计算有效自由度

使用Satterthwaite公式：
$\nu = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}} = \frac{(1.6 + 1)^2}{\frac{1.6^2}{9} + \frac{1^2}{19}} \approx \frac{6.76}{0.2844 + 0.0526} \approx 20.06$
取整数部分$\nu = 20$。

步骤4：确定t临界值

查t分布表，95%置信水平（双尾）对应$\nu = 20$的临界值为：
$t_{\alpha/2, \nu} = t_{0.025, 20} \approx 2.086$

步骤5：计算置信区间

边际误差为：
$ME = t_{\alpha/2, \nu} \cdot SE = 2.086 \cdot 1.612 \approx 3.364$
置信区间为：
$2 \pm 3.364 \quad \text{即} \quad (-1.364, 5.364)$