设A , B 均为n 阶矩阵，已知A 等价于B ，则下列说法错误的是 （ ）A. |A|=0 Leftrightarrow |B|=0B. A 可逆Leftrightarrow B 可逆C. 存在可逆矩阵P ,使得PA=BD. 存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B

矩阵等价的定义是存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$。本题需结合等价矩阵的性质，判断选项中哪一说法不成立。关键点在于：

1. 等价矩阵的秩相等，因此行列式为零的充要条件成立；
2. 可逆性由秩决定，若$A$可逆则$B$必可逆；
3. 选项C仅涉及单边可逆矩阵作用，而等价需同时考虑行、列变换，因此可能不成立；
4. 选项D符合等价定义，必然正确。

选项分析

A. $|A|=0 \Leftrightarrow |B|=0$

• 正确。等价矩阵秩相等，若$|A|=0$，则$A$秩不足$n$，故$B$秩也不足$n$，$|B|=0$；反之亦然。

B. A可逆$\Leftrightarrow$ B可逆

• 正确。若$A$可逆，则存在$P$和$Q$使$PAQ=B$，两边左乘$P^{-1}$、右乘$Q^{-1}$得$A = P^{-1}BQ^{-1}$，故$B$可逆。反之同理。

C. 存在可逆矩阵$P$，使得$PA=B$

• 错误。矩阵等价需同时进行行、列变换（即$PAQ=B$），仅通过左乘$P$无法实现所有等价关系。例如，若$A=I$，$B$为交换两行后的矩阵，则需右乘列变换矩阵$Q$，单边左乘无法实现。

D. 存在可逆矩阵$P,Q$，使$PAQ=B$

• 正确。此为矩阵等价的定义，必然成立。