求下列极限:-|||-lim sinx-tan x

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换求极限的方法，以及三角函数恒等变形的能力。

解题核心思路：

1. 分子变形：将分子$\sin x - \tan x$通过三角恒等式变形为$\sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}$，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：利用$x \to 0$时$\sin x \sim x$，$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，$\sin x^3 \sim x^3$进行替换，将复杂三角函数表达式转化为多项式形式。
3. 极限化简：通过约分直接计算极限值。

破题关键点：

• 分子分解是关键第一步，需正确应用三角恒等式。
• 等价无穷小的准确选择直接影响后续计算的正确性。

步骤1：分子变形
将分子$\sin x - \tan x$变形：
$\begin{aligned}\sin x - \tan x &= \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sin x \left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) \\&= \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}.\end{aligned}$

步骤2：代入等价无穷小
当$x \to 0$时，有以下等价无穷小：

• $\sin x \sim x$
• $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$
• $\sin x^3 \sim x^3$
• $\cos x \to 1$

将这些近似代入原式：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}}{\sin x^3} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right)}{x^3 \cdot 1} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{2}}{x^3} \\&= -\frac{1}{2}.\end{aligned}$