设总体X具有分布律 X 1 2 3 pi θ2 2θ(1-θ) (1-θ)2 其中θ(0＜θ＜1)为未知参数．已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的最大似然估计值．

步骤 1：写出似然函数
根据题目给出的分布律，似然函数 $L(\theta)$ 可以表示为样本值出现的概率的乘积。由于样本值为 $x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=1$，因此似然函数为：
$$
L(\theta) = P(X=1) \cdot P(X=2) \cdot P(X=1) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2
$$
步骤 2：简化似然函数
将似然函数简化为：
$$
L(\theta) = 2\theta^5(1-\theta)
$$
步骤 3：求对数似然函数
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = \ln 2 + 5\ln \theta + \ln (1-\theta)
$$
步骤 4：求对数似然函数的导数
对对数似然函数求导，得到：
$$
\dfrac {d\ln L(\theta)}{d\theta} = \dfrac {5}{\theta} - \dfrac {1}{1-\theta}
$$
步骤 5：求导数等于0的解
令导数等于0，求解 $\theta$：
$$
\dfrac {5}{\theta} - \dfrac {1}{1-\theta} = 0
$$
解得：
$$
\theta = \dfrac {5}{6}
$$