题目

设三阶方阵 A 的列分块矩阵为 A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3), a, b 是常数, 若 alpha_3 = aalpha_1 + balpha_2, 求 |A|.

设三阶方阵 A 的列分块矩阵为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$, $a, b$ 是常数, 若 $\alpha_3 = a\alpha_1 + b\alpha_2$, 求 $|A|$.

题目解答

答案

设三阶方阵 $ A = (a_1, a_2, a_3) $，其中 $ a_3 = a a_1 + b a_2 $。根据行列式性质，若矩阵的某一列是其他列的线性组合，则行列式为零。
这里，$ a_3 $ 是 $ a_1 $ 和 $ a_2 $ 的线性组合，即 $ a_3 = a a_1 + b a_2 $，说明列向量线性相关。
因此，行列式 $ |A| = 0 $。

答案： $\boxed{0}$

解析

本题考查行列式的性质以及矩阵列向量线性相关性与行列式值的关系。解题思路是根据行列式的性质，判断矩阵列向量是否线性相关，进而得出行列式的值。

已知三阶方阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，且$\alpha_3 = a\alpha_1 + b\alpha_2$，其中$a,b$为常数。
根据行列式的性质：若矩阵的某一列是其他列的线性组合，则行列式为零。
在本题中，矩阵$A$的第三列$\alpha_3$是第一列$\alpha_1$和第二列$\alpha_2$的线性组合，即$\alpha_3 = a\alpha_1 + b\alpha_2$，这表明矩阵$A$的列向量线性相关。
所以，行列式$\vert A\vert = 0$。