题目
若随机变量 X sim N(0,1) ，Phi(x)为其分布函数,则 Phi(x)+ Phi(-x)= ()。A. -1B. 0C. 1D. 2
若随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，$\Phi(x)$为其分布函数,则 $\Phi(x)+ \Phi(-x)= ()$。
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
题目解答
答案
C. 1
解析
步骤 1：理解分布函数
分布函数 $\Phi(x)$ 表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $\Phi(x) = P(X \leq x)$。对于标准正态分布 $N(0,1)$，$\Phi(x)$ 是累积分布函数。
步骤 2：利用对称性
由于 $X \sim N(0,1)$ 是标准正态分布，其概率密度函数关于 $x=0$ 对称。因此，$\Phi(-x) = P(X \leq -x)$ 可以通过分布函数的对称性转换为 $1 - \Phi(x)$。这是因为 $P(X \leq -x)$ 等于 $P(X > x)$，而 $P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - \Phi(x)$。
步骤 3：计算 $\Phi(x) + \Phi(-x)$
根据步骤 2 的结果，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。因此，$\Phi(x) + \Phi(-x) = \Phi(x) + (1 - \Phi(x)) = 1$。
分布函数 $\Phi(x)$ 表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $\Phi(x) = P(X \leq x)$。对于标准正态分布 $N(0,1)$，$\Phi(x)$ 是累积分布函数。
步骤 2：利用对称性
由于 $X \sim N(0,1)$ 是标准正态分布，其概率密度函数关于 $x=0$ 对称。因此，$\Phi(-x) = P(X \leq -x)$ 可以通过分布函数的对称性转换为 $1 - \Phi(x)$。这是因为 $P(X \leq -x)$ 等于 $P(X > x)$，而 $P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - \Phi(x)$。
步骤 3：计算 $\Phi(x) + \Phi(-x)$
根据步骤 2 的结果，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。因此，$\Phi(x) + \Phi(-x) = \Phi(x) + (1 - \Phi(x)) = 1$。