试证六方密排密堆积结构中(c)/(a)=((8)/(3))^1/2approx1.633.

本题考查六方密排（HCP）结构的几何关系及相关计算，解题的关键在于根据紧密排列条件找出原子间距与层间距之间的关系，进而推导出 $\frac{c}{a}$ 的值。

1. 确定原子位置关系：
   • 在六方密排结构中，基面原子间距为 $a$，层间距为 $c$。考虑上下层原子的紧密排列情况，我们可以构建一个几何模型。
   • 从几何关系上看，上下层原子的中心连线、基面原子间距的一半以及层间距的一半构成一个直角三角形。其中，上下层原子的中心连线长度等于基面原子间距 $a$（紧密排列条件），基面原子间距的一半为 $\frac{a}{2}$，层间距的一半为 $\frac{c}{2}$。
   • 但是，我们还需要考虑到六方结构的对称性，实际上在计算时，我们可以通过构建一个由三个原子构成的等边三角形来进一步确定关系。在这个等边三角形中，其高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，而我们所构建的直角三角形的一条直角边是这个等边三角形高的 $\frac{2}{3}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}a\times\frac{2}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}$，另一条直角边为 $\frac{c}{2}$，斜边为 $a$。
2. 根据勾股定理列方程：
   • 根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。所以有 $\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2 = a^2$。
   • 对等式左边进行计算：
     • 先计算 $\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{a^2}{3}$，$\left(\frac{c}{2}\right)^2=\frac{c^2}{4}$。
     • 则方程变为 $\frac{a^2}{3}+\frac{c^2}{4}=a^2$。
3. 化简方程求解 $\frac{c}{a}$：
   • 为了求解 $c$ 与 $a$ 的关系，我们对 $\frac{a^2}{3}+\frac{c^2}{4}=a^2$ 进行化简。
   • 首先将方程两边同时减去 $\frac{a^2}{3}$，得到 $\frac{c^2}{4}=a^2 - \frac{a^2}{3}$。
   • 对右边进行通分计算：$a^2 - \frac{a^2}{3}=\frac{3a^2 - a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}$。
   • 所以 $\frac{c^2}{4}=\frac{2a^2}{3}$。
   • 方程两边同时乘以 $4$，得到 $c^2=\frac{8a^2}{3}$。
   • 方程两边同时开平方，因为 $c$ 和 $a$ 均为长度，大于 $0$，所以可得 $\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\left(\frac{8}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$。
   • 计算 $\left(\frac{8}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\approx1.633$。