题目
某人家中在时间间隔t(小时)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布。（1）若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？
某人家中在时间间隔t(小时)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布。
（1）若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？
（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？
题目解答
答案
（1）若他外出计划用10分钟，则
其间有电话铃响一次的概率为
（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即
时间为
解析
步骤 1：计算10分钟内的电话次数概率
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，其中t为时间间隔（小时）。若他外出计划用时10分钟，即t=10/60=1/6小时，因此参数λ=2t=2×1/6=1/3。
步骤 2：计算有电话铃响一次的概率
根据泊松分布的概率公式，P(X=k)=λ^k e^(-λ)/k!，其中k为电话次数。若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率，即k=1时的概率。代入λ=1/3，k=1，得到P(X=1)=(1/3)^1 e^(-1/3)/1!=1/3 e^(-1/3)≈0.231。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即k=0时的概率P(X=0)≥0.5。根据泊松分布的概率公式，P(X=0)=λ^0 e^(-λ)/0!=e^(-λ)。因此，e^(-λ)≥0.5，即-λ≥ln(0.5)，λ≤-ln(0.5)。由于λ=2t，因此2t≤-ln(0.5)，t≤-ln(0.5)/2≈0.3465小时。换算成分钟，t≈0.3465×60≈20.79分钟。
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，其中t为时间间隔（小时）。若他外出计划用时10分钟，即t=10/60=1/6小时，因此参数λ=2t=2×1/6=1/3。
步骤 2：计算有电话铃响一次的概率
根据泊松分布的概率公式，P(X=k)=λ^k e^(-λ)/k!，其中k为电话次数。若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率，即k=1时的概率。代入λ=1/3，k=1，得到P(X=1)=(1/3)^1 e^(-1/3)/1!=1/3 e^(-1/3)≈0.231。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即k=0时的概率P(X=0)≥0.5。根据泊松分布的概率公式，P(X=0)=λ^0 e^(-λ)/0!=e^(-λ)。因此，e^(-λ)≥0.5，即-λ≥ln(0.5)，λ≤-ln(0.5)。由于λ=2t，因此2t≤-ln(0.5)，t≤-ln(0.5)/2≈0.3465小时。换算成分钟，t≈0.3465×60≈20.79分钟。