设 f(z)= x^2 + iy^2，则 f'(1+i)= ____。A. 2B. 2iC. 1+iD. 2+2i

本题考查复变函数导数的计算。解题思路是先根据复变函数导数的定义，将函数$f(z)=x^2 + iy^2$表示为$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)=x^2$，$v(x,y)=y^2$，然后分别求出$u(x,y)$和$v(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数，再根据柯西 - 黎曼方程判断函数在某点是否可导，若可导则利用导数公式$f^\prime(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$计算导数，最后将$z = 1 + i$代入导数表达式求出$f^\prime(1 + i)$。

1. 确定$u(x,y)$和$v(x,y)$：
   已知$f(z)=x^2 + iy^2$，则$u(x,y)=x^2$，$v(x,y)=y^2$。
2. 求偏导数：
   • 对$u(x,y)=x^2$求关于$x$和$y$的偏导数：
     根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0$。
   • 对$v(x,y)=y^2$求关于$x$和$y$的偏导数：
     同理可得$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y}=2y$。
3. 判断函数可导性：
   柯西 - 黎曼方程为$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$且$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
   将$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y}=2y$代入柯西 - 黎曼方程，可得$2x = 2y$且$0 = 0$，即$x = y$时函数可导。
4. 计算导数：
   当函数可导时，$f^\prime(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$，将$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$代入可得$f^\prime(z)=2x$。
5. 求$f^\prime(1 + i)$：
   已知$z = 1 + i$，则$x = 1$，$y = 1$，满足$x = y$，函数在该点可导。
   将$x = 1$代入$f^\prime(z)=2x$，可得$f^\prime(1 + i)=2\times1 = 2$。