例7.10 设随机变量 _(n)(ngeqslant 1) 相互独立,且都在 [ -1,1] . 上服从均匀分布,则limP √n ≤1}=-|||-__ (结果用标准正态分布函数 ϕ(x)表示).

考查要点：本题主要考查独立同分布中心极限定理的应用，以及均匀分布的期望与方差计算。

解题核心思路：

1. 确定分布参数：首先计算每个随机变量 $X_i$ 的期望和方差。
2. 标准化处理：将求和形式转化为中心极限定理中的标准化形式，利用正态分布的极限性质求解概率。
3. 极限转换：通过标准化后的变量，将原概率问题转化为标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 的计算。

破题关键点：

• 正确计算期望与方差：均匀分布的期望为区间中点，方差为 $(b-a)^2/12$。
• 标准化变量的构造：将求和项 $\sum X_i$ 标准化为 $\frac{\sum X_i}{\sqrt{n/3}}$，对应中心极限定理的形式。
• 不等式转换：将原概率中的 $\sum X_i \leq n/\sqrt{3}$ 转换为标准化变量的范围。

步骤1：计算期望与方差

每个 $X_i$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，因此：

• 期望：
  $E(X_i) = \frac{-1 + 1}{2} = 0$
• 方差：
  $D(X_i) = \frac{(1 - (-1))^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

步骤2：应用中心极限定理

根据独立同分布中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时，标准化变量：
$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}}$
近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。

步骤3：转换原概率表达式

原概率为：
$P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = P\left(\sum_{i=1}^n X_i \leq \frac{n}{\sqrt{3}}\right)$
将不等式两边除以 $\sqrt{n/3}$，得：
$P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \frac{n/\sqrt{3}}{\sqrt{n/3}}\right) = P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \sqrt{3}\right)$

步骤4：应用标准正态分布函数

当 $n \to \infty$ 时，标准化变量服从标准正态分布，因此：
$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n/3}} \leq \sqrt{3}\right) = \Phi(\sqrt{3})$