设总体 X sim N(0,1)，(X_1, X_2, ... X_6) 为来自总体 X 的简单随机样本，则 k=(）时，(k cdot sum_(i=1)^4 X_i)/(sqrt(X_5^2 + X_6^2)) sim tA. (sqrt(2))/(2)B. 2C. sqrt(2)D. (1)/(2)

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及标准正态分布、卡方分布的性质以及独立随机变量的线性组合。

解题核心思路：

1. 分子部分：确定$\sum_{i=1}^{4} X_i$的分布，将其标准化为标准正态变量。
2. 分母部分：分析$X_5^2 + X_6^2$的分布，确认其为自由度为2的卡方分布。
3. 构造t分布：根据t分布的定义，分子为标准正态变量，分母为卡方变量的平方根（需调整自由度），通过系数匹配确定$k$的值。

破题关键点：

• 独立性：分子与分母对应的随机变量需独立。
• 标准化处理：将分子的和转化为标准正态变量，分母转化为卡方分布的平方根形式。

分子部分分析

$\sum_{i=1}^{4} X_i$是4个独立标准正态变量的和，其分布为：
$\sum_{i=1}^{4} X_i \sim N(0, 4)$
标准化后可表示为：
$\sum_{i=1}^{4} X_i = 2Z \quad (Z \sim N(0,1))$

分母部分分析

$X_5^2 + X_6^2$是2个独立标准正态变量的平方和，服从自由度为2的卡方分布：
$X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$
因此，分母可表示为：
$\sqrt{X_5^2 + X_6^2} = \sqrt{U} \quad (U \sim \chi^2(2))$

构造t分布

根据t分布的定义：
$t = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$
其中$Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2(n)$且独立。本题中：

• 分子为$k \cdot \sum_{i=1}^{4} X_i = k \cdot 2Z$
• 分母为$\sqrt{X_5^2 + X_6^2} = \sqrt{U}$

需满足：
$\frac{k \cdot 2Z}{\sqrt{U}} = \frac{Z}{\sqrt{U/2}}$
化简得：
$k \cdot 2 = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{\sqrt{2}}{2}$